Hirsch 微分トポロジーの問題1.3.7、1.3.8

微分トポロジー,多様体

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問題1.3.7

　$T_1S^2$($S^2$の単位接束)は$P^3$に微分同相。

　これは、問題1.2.10で示した$SO(3)\approx P^3$を使えば、割と自明です。というのも、以下のような対応関係があるからです。

左:!FORMULA[4][1258416561][0],右:!FORMULA[5][303002193][0] 左:$(p,v)\in T_1S^2$,右:$(v,p×v,p)\in SO(3)$

　$f:T_1S^2\to SO(3)$を$(p,v)\mapsto (v,p×v,p)$で定める。(この対応がwell-defindである事は線形代数の問題なので省略する。)
　この写像の逆$g:SO(3)\to T_1S^2$は、$\mathbb R^3$の標準基底を$e_1,e_2,e_3$とすると$A\mapsto (Ae_3,Ae_1)$で与えられ、よって$f$は$g$により微分同相になる事がわかる。
　よって問題1.2.10より、$T_1S^2\approx SO(3)\approx P^3$。

　細かすぎますが、以下の問題の多様体$M$は、本には特に記述がないですが、2点以上の元をもつ多様体と条件を増やしています。
　というのもそうでなければ、明確な反例(一点集合)が一つ存在してしまいます。

問題1.3.8

　$M$をコンパクトC^1級の2点以上をもつ多様体とする。このとき、$C^1$級写像$f:M\to \mathbb R$は少なくとも2個の臨界点をもつ。

コンパクト空間上の連続関数で2個とくれば、最大値最小値の定理を使えと言われているようなものですね。

　最大値最小値の定理より、$f$は最大値、最小値を持つ。いま、それを取る点を一つとり、$p$とする。
　点$p$のチャート$(\phi,U)$を取り、$f$を局所座標表示すると、$\phi(p)$は単にEuclid空間の間の局所極値点である。
　よってFermatの極値点定理より、その点での微分は0である。すなわち、$f$の点$p$での微分は0であり、よって$p$は臨界点である。
　今、$p$は最大値か最小値の指定が無く臨界点である事が示せたので、$M$が2点以上を持つ事から、少なくとも2個の臨界点をもつ事がわかる。