PILAME 杯2025予選解説　問4

はじめに

今回はPILAME杯2025の予選問4の解説をします。
※問題に関してはPILAME杯のサイトからご覧ください。
また、初心者なので間違っている可能性があります。
それでは早速いきましょう。

問４

最初の初等幾何の問題ですね。
7点配点の中では比較的難易度が高いように感じられました。(OMC換算で緑上位～水diffくらい？)
別解の方が解きやすいかもしれません。

解説(初等幾何的解法)

まずはAから辺BCに垂線を下ろしてその足をHとします
重心の性質から点Gは線分DHを2:1に内分する点だとわかります
加えて、BC//DEより三角形DEGとHPGは相似になり、相似比は2:1です
したがって、PH＝6,PG=5となります
ここで、PB=PD＝ｘとします
すると、BD=$\sqrt{2}$x
また、Eから辺BCに下ろした垂線の足をQとすると、対称性から
HQ=6,CQ=xとなります
四角形PDEQは長方形であり、PE=PG+GE=15,DE=PQ=12だから三平方の定理からPD=QE=9となります
これより、CH=AH=15となり、三角形APHに三平方の定理を用いて、
$AP^{2}$=$AH^{2}$+$PH^{2}$=$15^{2}$+$6^{2}$=261
よってAP=3$\sqrt{29}$となります

別解(直行座標におく)

Aの座標を(0,0)とし、B,Dをｙ軸上の点とします
DE=12,DE//BCから、D(0,6$\sqrt{2}$),E(6$\sqrt{2}$,0)となります
ここで、B(0,t),C(t,0)とするとGは三角形BDCの重心だから
G($\frac{t}{3}$,$\frac{t}{3}$+2$\sqrt{2}$)となります
$GE^{2}$=$( \frac{t}{3} -6 \sqrt{2} )^{2}$+$( \frac{t}{3} +2 \sqrt{2} )^{2}$=$10^{2}$が成り立つのでt>0の範囲でこれを解いて、t=15$\sqrt{2}$を得ます
Pの座標については直線BCとEGの交点なので
BC:y=-x+15$\sqrt{2}$
EG:y=-7x+42$\sqrt{2}$
これら2式を連立して解くことで
P($\frac{9}{ \sqrt{2} }$,$\frac{21}{ \sqrt{2} }$)となり、AP=$\sqrt{261}$=3$\sqrt{29}$となります

まとめ

個人的には幾何の問題だと問6の方が解きやすく感じました。他の幾何の問題についても解説を書こうと考えています。ここまで長くなってしまいましたがお読みいだたきありがとうございます。