Derichilet核とPoisson核（問題形式）
[Stein-Shakarchi, Fourier Analysis]の例より。
演習問題形式にしてみました。
高校生でも理解できて面白いと思います。
$N$を自然数とする。関数($N$次Derichilet核という)
\begin{align}
D_N(x)=\sum_{n=-N}^{N}e^{inx}
\end{align}をシグマ記号を使わず、$\sin$関数と$N,x$のみを用いて表せ。
$\omega=e^{ix}$とおく。等比級数の総和の公式より
\begin{align}
\sum_{n=0}^{N}\omega^n&=\frac{1-\omega^{N+1}}{1-\omega},\\
\sum_{n=-N}^{-1}&=\frac{\omega^{-N}-1}{1-\omega}
\end{align}
である。Eulerの公式より、$\omega^{-A}-\omega^{A}=2\sin(Ax)$であることに注意すると、
\begin{align}
D_N(x)=\frac{\omega^{-N}-\omega^{N+1}}{1-\omega}
=\frac{\omega^{-(N+\frac{1}{2})}-\omega^{N+\frac{1}{2}}}{\omega^{-\frac{1}{2}}-\omega^{\frac{1}{2}}}=\frac{\sin((N+\frac{1}{2})x)}{\sin(x/2)}.
\end{align}
次の問題では関数の収束性(関数列が一様収束すること)の議論が必要であるが、高校生の読者は「今の状況では自由に式変形してよいのだ」と理解されたらよい。
$0\leq r<1$を実数とする。関数(Poisson核という)
\begin{align}
P_r(\theta)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}r^{|n|}e^{in\theta}
\end{align}をシグマ記号を使わず、$\cos$関数と$r,\theta$のみを用いて表せ。
(詳しい読者へ：$P_r(\theta)$は関数列$(\sum_{n=-N}^{N}r^{|n|}e^{in\theta}:\mathbb{R}\to \mathbb{C})_{N=1,2,\dots}$の極限として与えられる関数である。$|e^{in\theta}|=1$であることから、この関数列が一様収束することが容易にわかる。したがって、和の順序を自由に変えても良い。）
$\omega=re^{i\theta}$とおく。すると、
\begin{align}
P_r(\theta)&=\sum_{n=0}^{\infty}\omega^n+\sum_{n=1}^{\infty}\overline{\omega}^n\\
&=\frac{1}{1-\omega}+\frac{\overline{\omega}}{1-\overline{\omega}}\\
&=\frac{1-|\omega|^2}{|1-\omega|^2}\\
&=\frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2}.
\end{align}
ただし最後の式変形では、複素平面上での三角形に対して、余弦定理を用いた。
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