小数部分の極限/第16回数学コンテスト/近畿大学主催問題A-1

［解答］
$ \alpha = \frac{5- \sqrt{13}}{2}, \beta = \frac{5+ \sqrt{13}}{2}$とおく．
$$ \quad　0<\alpha <1,4<\beta<5$$
であり，２次方程式$x^2-5x+3=0$の２解である．
$$ \quad　c_n=\alpha^n+\beta^n$$
とおく．
　このとき，$c_1=5 , c_1=19$で，
$$ \quad　c_{n+2}-5c_{n+1}+3c_{n}=0$$
に従う．
　「定義」から，正の実数値をとる増加列で，漸化式から，自然数の増加列である．
$\beta^n=[\beta^n]+a_n$であり，
$$[\beta^n]＜\beta^n＜[\beta^n]+1$$
　また，$　0<\alpha ^n <1$なので，
$$\beta^n＜c_n<\beta^n+1＜[\beta^n]+2$$
$$c_n-1<\beta^n＜c_n, \quad　[\beta^n]=c_n-1$$
よって，小数部分$a_n$は，
$$ \quad　a_n=\beta^n-[\beta^n]$$
$$ \quad　a_n=\beta^n-(\alpha^n+\beta^n-1)$$
$$ \quad　a_n=1-\alpha^n$$
結局，この極限値は，$\alpha^n \rightarrow0 $なので，
$$ \quad　 \lim_{n \to \infty} a_n=1$$
$ \quad　 \cdots $(ans)
［蛇足］$a>1$で，数列$ \lbrace a^n \rbrace $の小数部分が，一様分布となる，実数$a$はみつかったのでしょうか？