ラマヌジャンの論文3：ある連立方程式について

はじめに

　この記事ではラマヌジャンの書いた論文"Note on a set of simultaneous equations"を読んでいきます。
　タイトルの3という番号はハーディによる書籍"Collected Papers of Srinivasa Ramanujan"におけるナンバリングに準じています。ちなみに"Collected Papers"の全容については こちらのサイト や こちらのサイト にて閲覧することができます。

概説

　この論文の主題は$2n$個の未知数
$$x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_n$$
に関する連立方程式
\begin{align} x_1+x_2+\cdots+x_n&=a_1\\ x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n&=a_2\\ x_1y_1^2+x_2y_2^2+\cdots+x_ny_n^2&=a_3\\ &\ \ \vdots\\ x_1y_1^{2n-1}+x_2y_2^{2n-1}+\cdots+x_ny_n^{2n-1}&=a_{2n} \end{align}
の解き方を紹介することにあります。

解説

　いま
$$\phi(\t)=\sum^n_{i=1}\frac{x_i}{1-y_i\t}$$
とおくと、これは
$$\phi(\t)=\sum^\infty_{k=0}\l(\sum^n_{i=1}x_iy_i^k\r)\t^k$$
と展開できるので、上の方程式は
$$\phi(\t)=a_1+a_2\t+a_3\t^2+\cdots+a_{2n}\t^{2n}+\cdots$$
が成り立つことと言い換えられる。
　ところで$\phi(\t)$の定義から
$$\phi(\t)=\frac{A_1+A_2\t+A_3\t^2+\cdots A_n\t^{n-1}}{1+B_1\t+B_2\t^2+\cdots+B_n\t^n}$$
と表すと
\begin{align} A_1+A_2\t+A_3\t^2+\cdots A_n\t^{n-1} ={}&(1+B_1\t+B_2\t^2+\cdots+B_n\t^n)\\ &\quad\times(a_1+a_2\t+a_3\t^2+\cdots+a_{2n}\t^{2n}+\cdots) \end{align}
が成り立つので、この両辺の各係数を比較することで
$$A_1,A_2,\ldots,A_n,B_1,B_2,\ldots,B_n$$
に関する線形方程式
$$\begin{pmatrix} A_1\\A_2\\A_3\\\vdots\\A_n\\0\\0\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1&0&0&\cdots&0\\ a_2&a_1&0&\cdots&0\\ a_3&a_2&a_1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_n&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots&0\\ a_{n+1}&a_n&a_{n-1}&\cdots&a_1\\ a_{n+2}&a_{n+1}&a_n&\cdots&a_2\\ a_{n+3}&a_{n+2}&a_{n+1}&\cdots&a_3\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{2n}&a_{2n-1}&a_{2n-2}&\cdots&a_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\B_1\\B_2\\\vdots\\B_n \end{pmatrix}$$
が得られる。
　さてこの方程式は後半の$n$行から
$$B_1,B_2,\ldots,B_n$$
を求めることができ、その値と前半の$n$行から
$$A_1,A_2,\ldots,A_n$$
を求めることができる。あとは部分分数分解によって
$$\frac{A_1+A_2\t+A_3\t^2+\cdots A_n\t^{n-1}}{1+B_1\t+B_2\t^2+\cdots+B_n\t^n}=\sum^n_{i=1}\frac{x_i}{1-y_i\t}$$
と変形することで所望の
$$x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_n$$
が得られる。

計算例

　例えば
$$x,y,z,u,v,p,q,r,s,t$$
に関する連立方程式
\begin{align} x+y+z+u+v&=2\\ px+qy+rz+su+tv&=3\\ p^2x+q^2y+r^2z+s^2u+t^2v&=16\\ p^3x+q^3y+r^3z+s^3u+t^3v&=31\\ p^4x+q^4y+r^4z+s^4u+t^4v&=103\\ p^5x+q^5y+r^5z+s^5u+t^5v&=235\\ p^6x+q^6y+r^6z+s^6u+t^6v&=674\\ p^7x+q^7y+r^7z+s^7u+t^7v&=1669\\ p^8x+q^8y+r^8z+s^8u+t^8v&=4526\\ p^9x+q^9y+r^9z+s^9u+t^9v&=11595 \end{align}
を考えたとき、対応する
\begin{align} \phi(t) &=\frac x{1-p\t}+\frac y{1-q\t}+\frac z{1-r\t}+\frac u{1-s\t}+\frac v{1-t\t}\\ &=\frac{A_1+A_2\t+A_3\t^2+A_4\t^3+A_5\t^4}{1+B_1\t+B_2\t^2+B_3\t^3+B_4\t^4+B_5\t^5} \end{align}
に関する方程式

$$\begin{pmatrix} A_1\\A_2\\A_3\\A_4\\A_5\\0\\0\\0\\0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&0&0&0&0&0\\ 3&2&0&0&0&0\\ 16&3&2&0&0&0\\ 31&16&3&2&0&0\\ 103&31&16&3&2&0\\ 235&103&31&16&3&2\\ 674&235&103&31&16&3\\ 1669&674&235&103&31&16\\ 4526&1669&674&235&103&31\\ 11595&4526&1669&674&235&103 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\B_1\\B_2\\B_3\\B_4\\B_5 \end{pmatrix}$$
を解くと
$$\phi(\t)=\frac{2+\t+3\t^2+2\t^3+\t^4}{1-\t-5\t^2+\t^3+3\t^4-\t^5}$$
と求まる(らしい)。これを
\begin{align} \phi(t) &=\frac{2+\t+3\t^2+2\t^3+\t^4}{(1+\t)(1-3\t+\t^2)(1+\t-\t^2)}\\ &=-\frac3{5(1+\t)}+\frac{36-49\t}{10(1-3\t+\t^2)}-\frac{2+9\t}{2(1+\t-\t^2)} \end{align}
と変形し、もうちょい部分分数分解することで
$$\begin{pmatrix} x&p\\y&q\\z&r\\u&s\\v&t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac35&-1\\ \frac{18+\sqrt5}{10}&\frac{3+\sqrt5}2\\ \frac{18-\sqrt5}{10}&\frac{3-\sqrt5}2\\ -\frac{\sqrt5+8}{2\sqrt5}&-\frac{1-\sqrt5}2\\ -\frac{\sqrt5-8}{2\sqrt5}&-\frac{1+\sqrt5}2 \end{pmatrix}$$
と求まる。