ラマヌジャンの論文3：ある連立方程式について

はじめに

　この記事ではラマヌジャンの書いた論文"Note on a set of simultaneous equations"を読んでいきます。
　タイトルの3という番号はハーディによる書籍"Collected Papers of Srinivasa Ramanujan"におけるナンバリングに準じています。ちなみに"Collected Papers"の全容については こちらのサイト や こちらのサイト にて閲覧することができます。

概説

　この論文の主題は$2n$個の未知数
$$x_1,x_2,\dots ,x_n,y_1,y_2,\dots ,y_n$$
に関する連立方程式
$$\begin{array}{rl}{x}_1+x_2+\cdots +x_n& =a_1\\ x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n& =a_2\\ x_1{y}_1^2+x_2{y}_2^2+\cdots +x_n{y}_n^2& =a_3\\ & ⋮\\ x_1{y}_1^{2n-1}+x_2{y}_2^{2n-1}+\cdots +x_n{y}_n^{2n-1}& =a_{2n}\end{array}$$
の解き方を紹介することにあります。

解説

　いま
$$\varphi (\theta )=\sum _{i=1}^n\frac{x_i}{1-y_i\theta }$$
とおくと、これは
$$\varphi (\theta )=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i^k\right){\theta }^k$$
と展開できるので、上の方程式は
$$\varphi (\theta )=a_1+a_2\theta +a_3{\theta }^2+\cdots +a_{2n}{\theta }^{2n}+\cdots$$
が成り立つことと言い換えられる。
　ところで$\varphi (\theta )$の定義から
$$\varphi (\theta )=\frac{A_1+A_2\theta +A_3{\theta }^2+\cdots A_n{\theta }^{n-1}}{1+B_1\theta +B_2{\theta }^2+\cdots +B_n{\theta }^n}$$
と表すと
$$\begin{array}{rl}{A}_1+A_2\theta +A_3{\theta }^2+\cdots A_n{\theta }^{n-1}=& (1+B_1\theta +B_2{\theta }^2+\cdots +B_n{\theta }^n)\\ & \times (a_1+a_2\theta +a_3{\theta }^2+\cdots +a_{2n}{\theta }^{2n}+\cdots )\end{array}$$
が成り立つので、この両辺の各係数を比較することで
$$A_1,A_2,\dots ,A_n,B_1,B_2,\dots ,B_n$$
に関する線形方程式
$$\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\\ ⋮\\ A_n\\ 0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& 0& 0& \cdots & 0\\ a_2& a_1& 0& \cdots & 0\\ a_3& a_2& a_1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \cdots & 0\\ a_{n+1}& a_n& a_{n-1}& \cdots & a_1\\ a_{n+2}& a_{n+1}& a_n& \cdots & a_2\\ a_{n+3}& a_{n+2}& a_{n+1}& \cdots & a_3\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{2n}& a_{2n-1}& a_{2n-2}& \cdots & a_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ B_1\\ B_2\\ ⋮\\ B_n\end{array}\right)$$
が得られる。
　さてこの方程式は後半の$n$行から
$$B_1,B_2,\dots ,B_n$$
を求めることができ、その値と前半の$n$行から
$$A_1,A_2,\dots ,A_n$$
を求めることができる。あとは部分分数分解によって
$$\frac{A_1+A_2\theta +A_3{\theta }^2+\cdots A_n{\theta }^{n-1}}{1+B_1\theta +B_2{\theta }^2+\cdots +B_n{\theta }^n}=\sum _{i=1}^n\frac{x_i}{1-y_i\theta }$$
と変形することで所望の
$$x_1,x_2,\dots ,x_n,y_1,y_2,\dots ,y_n$$
が得られる。

計算例

　例えば
$$x,y,z,u,v,p,q,r,s,t$$
に関する連立方程式
$$\begin{array}{rl}x+y+z+u+v& =2\\ px+qy+rz+su+tv& =3\\ p^{2}x+q^{2}y+r^{2}z+s^{2}u+t^{2}v& =16\\ p^{3}x+q^{3}y+r^{3}z+s^{3}u+t^{3}v& =31\\ p^{4}x+q^{4}y+r^{4}z+s^{4}u+t^{4}v& =103\\ p^{5}x+q^{5}y+r^{5}z+s^{5}u+t^{5}v& =235\\ p^{6}x+q^{6}y+r^{6}z+s^{6}u+t^{6}v& =674\\ p^{7}x+q^{7}y+r^{7}z+s^{7}u+t^{7}v& =1669\\ p^{8}x+q^{8}y+r^{8}z+s^{8}u+t^{8}v& =4526\\ p^{9}x+q^{9}y+r^{9}z+s^{9}u+t^{9}v& =11595\end{array}$$
を考えたとき、対応する
$$\begin{array}{rl}\varphi (t)& =\frac{x}{1-p\theta }+\frac{y}{1-q\theta }+\frac{z}{1-r\theta }+\frac{u}{1-s\theta }+\frac{v}{1-t\theta }\\ & =\frac{A_1+A_2\theta +A_3{\theta }^2+A_4{\theta }^3+A_5{\theta }^4}{1+B_1\theta +B_2{\theta }^2+B_3{\theta }^3+B_4{\theta }^4+B_5{\theta }^5}\end{array}$$
に関する方程式

$$\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\\ A_4\\ A_5\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 3& 2& 0& 0& 0& 0\\ 16& 3& 2& 0& 0& 0\\ 31& 16& 3& 2& 0& 0\\ 103& 31& 16& 3& 2& 0\\ 235& 103& 31& 16& 3& 2\\ 674& 235& 103& 31& 16& 3\\ 1669& 674& 235& 103& 31& 16\\ 4526& 1669& 674& 235& 103& 31\\ 11595& 4526& 1669& 674& 235& 103\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ B_1\\ B_2\\ B_3\\ B_4\\ B_5\end{array}\right)$$
を解くと
$$\varphi (\theta )=\frac{2+\theta +3{\theta }^2+2{\theta }^3+{\theta }^4}{1-\theta -5{\theta }^2+{\theta }^3+3{\theta }^4-{\theta }^5}$$
と求まる(らしい)。これを
$$\begin{array}{rl}\varphi (t)& =\frac{2+\theta +3{\theta }^2+2{\theta }^3+{\theta }^4}{(1+\theta )(1-3\theta +{\theta }^2)(1+\theta -{\theta }^2)}\\ & =-\frac{3}{5(1+\theta )}+\frac{36-49\theta }{10(1-3\theta +{\theta }^2)}-\frac{2+9\theta }{2(1+\theta -{\theta }^2)}\end{array}$$
と変形し、もうちょい部分分数分解することで
$$\left(\begin{array}{cc}x& p\\ y& q\\ z& r\\ u& s\\ v& t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{3}{5}& -1\\ \frac{18+\sqrt{5}}{10}& \frac{3+\sqrt{5}}{2}\\ \frac{18-\sqrt{5}}{10}& \frac{3-\sqrt{5}}{2}\\ -\frac{\sqrt{5}+8}{2\sqrt{5}}& -\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ -\frac{\sqrt{5}-8}{2\sqrt{5}}& -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{array}\right)$$
と求まる。