［三角置換］積分道場#89を解いてみる

どうも、ITetsuYKです。
今回も解いていきます、積分道場様（ X / YouTube ）の 第89問 です。

おぉ、存在感のありすぎる円の方程式。
まぁ三角置換確定で大丈夫そうですかね。やっていきましょー。

$x=\cos \theta ⟹\mathrm{d}x=-\sin \theta \mathrm{d}\theta ,{\displaystyle \frac{\pi }{2}>\theta >0}$から

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^1{x}^2\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x\\ =& -{\int }_{0.5\pi }^0{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta \mathrm{d}\theta (\because 0<\theta <\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin \theta >0)\\ =& {\int }_0^{0.5\pi }({\cos }^2\theta -{\cos }^4\theta )\mathrm{d}\theta \end{array}$$
これは……倍角を擦り切れるほど使う予感がするぞぉ。
$\kappa =2\iota =4\theta ⟹\{\begin{array}{ll}0<\iota <\pi ,& \mathrm{d}\iota =2\mathrm{d}\theta \\ 0<\kappa <2\pi ,& \mathrm{d}\kappa =2\mathrm{d}\iota \end{array}$から
$$\begin{array}{rl}& ={\int }_0^{\pi }\frac{1+\cos \iota }{4}\mathrm{d}\iota -\frac{1}{8}{\int }_0^{\pi }(1+\cos \iota {)}^2\mathrm{d}\iota \\ & =\frac{1}{4}[\iota +\sin \iota {]}_0^{\pi }-\frac{1}{8}[\iota +2\sin \iota {]}_0^{\pi }-\frac{1}{32}{\int }_0^{2\pi }(1+\cos \kappa )\mathrm{d}\kappa \\ & =\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{8}-\frac{1}{32}[\kappa +\sin \kappa {]}_0^{2\pi }\\ & =\frac{\pi }{8}-\frac{\pi }{16}=\frac{\pi }{16}◼\end{array}$$

$y=x^2\sqrt{1-x^2}$の実際のグラフを一回見てみたんですけど、$\sqrt{1-x^2}$が$0$付近で、$x^2$が$1$付近で$1$に近いというのもあって$0$付近では$x^2$に近く、$1$付近では$\sqrt{1-x^2}$に近い謎の滑らかな曲線でした。

正解できてよかったです。
それでは、また次の記事でお会いしましょう。