［三角置換］積分道場#89を解いてみる

どうも、ITetsuYKです。
今回も解いていきます、積分道場様（ X / YouTube ）の 第89問 です。

おぉ、存在感のありすぎる円の方程式。
まぁ三角置換確定で大丈夫そうですかね。やっていきましょー。

$x=\cos\theta \Longrightarrow {\rm d}x=-\sin\theta\:{\rm d}\theta,\;\displaystyle\frac\pi2>\theta>0$から

$$\begin{aligned} &\int_0^1x^2\sqrt{1-x^2}\:{\rm d}x \\ =&-\int^0_{0.5\pi}\sin^2\theta\cos^2\theta\:{\rm d}\theta\quad\left(\because\;0<\theta<\frac\pi2 \Rightarrow \sin\theta>0\right) \\ =&\int_0^{0.5\pi}(\cos^2\theta-\cos^4\theta)\:{\rm d}\theta \end{aligned}$$
これは……倍角を擦り切れるほど使う予感がするぞぉ。
$\kappa=2\iota=4\theta \Longrightarrow \begin{cases}0<\iota<\pi, & {\rm d}\iota=2\:{\rm d}\theta \\ 0<\kappa<2\pi, & {\rm d}\kappa=2\:{\rm d}\iota\end{cases}$から
$$\begin{aligned} &=\int_0^\pi\frac{1+\cos\iota}{4}\:{\rm d}\iota-\frac18\int_0^\pi(1+\cos\iota)^2\:{\rm d}\iota\\ &=\frac14\bigg[\iota+\sin\iota\bigg]^\pi_0-\frac18\bigg[\iota+2\sin\iota\bigg]^\pi_0-\frac1{32}\int_0^{2\pi}(1+\cos\kappa)\:{\rm d}\kappa \\ &=\frac\pi4-\frac\pi8-\frac1{32}\bigg[\kappa+\sin\kappa\bigg]^{2\pi}_0 \\ &=\frac\pi8-\frac\pi{16}=\frac\pi{16}\;\;\blacksquare \end{aligned}$$

$y=x^2\sqrt{1-x^2}$の実際のグラフを一回見てみたんですけど、$\sqrt{1-x^2}$が$0$付近で、$x^2$が$1$付近で$1$に近いというのもあって$0$付近では$x^2$に近く、${1}$付近では$\sqrt{1-x^2}$に近い謎の滑らかな曲線でした。

正解できてよかったです。
それでは、また次の記事でお会いしましょう。