台形の面積の公式は1次関数に対するKing's Propertyである

台形の面積はカヴァリエリの原理により次の積分を求めることに帰着される:

$ I = \displaystyle \int_a^b (cx + d) dx $

台形

King's Propertyにより以下の式が成り立つ:

\begin{align*} 2I &= \displaystyle \int_a^b (cx + d) dx + \int_a^b (c(a + b - x) + d) dx \\ &= \int_a^b (c(x + a + b - x) + 2d) dx \\ &= \int_a^b (c(a + b) + 2d) dx \\ &= \int_a^b ((ca + d) + (cb + d)) dx \\ &= ((ca + d) + (cb + d))(b - a) \end{align*}

よって

$ \text{(面積)} = (\text{(上底)} \times \text{(下底)}) \times \text{(高さ)}\ \text{÷}\ 2 $