垂心の性質のオイラー線の性質を用いた長さ追跡での証明

三角形$ABC$の外心を$O$とし，$O$から$BC$におろした垂線の足を$E$とする．
また，$HD=a,H'D=x,HA=2b$とし，外接円の半径を$R$とする．
オイラー線の性質より，$AH=2OE$なので，$OE=b$
方べきの定理より，$AH\times HH'=(R+OH)(R-OH)$なので，
$2b(a+x)=R^2-OH^2\Leftrightarrow OH^2=R^2-2b(a+x)$
三平方の定理より，$DE^2=OH^2-(OE-HD)^2=R^2-2b(a+x)-(b-a)^2=R^2-a^2-b^2-2bx$
$CE^2=BE^2=CO^2-OE^2=R^2-b^2$
方べきの定理より，$BD\times DC=(BE-DE)(CE+DE)=CE^2-DE^2=AD\times DH'$なので，
$(R^2-b^2)-(R^2-a^2-b^2-2bx)=x(a+2b)\Leftrightarrow a^2+2bx=ax+2bx\Leftrightarrow a=x$
よって，示された．