垂心の性質のオイラー線の性質を用いた長さ追跡での証明

鋭角三角形 $A B C$ について，垂心を $H$ とし， $A$ から $B C$ におろした垂線の足を $D$ ，直線 $A H$ と三角形 $A B C$ の外接円との交点のうち $A$ でないほうを $H^{'}$ としたとき， $H D = H^{'} D$ となる．

この補題を長さ追跡だけで証明しようと思います．

三角形 $A B C$ の外心を $O$ とし， $O$ から $B C$ におろした垂線の足を $E$ とする．
また， $H D = a, H^{'} D = x, H A = 2 b$ とし，外接円の半径を $R$ とする．
オイラー線の性質より， $A H = 2 O E$ なので， $O E = b$
方べきの定理より， $A H \times H H^{'} = (R + O H) (R - O H)$ なので，
$2 b (a + x) = R^{2} - O H^{2} \Leftrightarrow O H^{2} = R^{2} - 2 b (a + x)$
三平方の定理より， $D E^{2} = O H^{2} - (O E - H D)^{2} = R^{2} - 2 b (a + x) - (b - a)^{2} = R^{2} - a^{2} - b^{2} - 2 b x$
$C E^{2} = B E^{2} = C O^{2} - O E^{2} = R^{2} - b^{2}$
方べきの定理より， $B D \times D C = (B E - D E) (C E + D E) = C E^{2} - D E^{2} = A D \times D H^{'}$ なので，
$(R^{2} - b^{2}) - (R^{2} - a^{2} - b^{2} - 2 b x) = x (a + 2 b) \Leftrightarrow a^{2} + 2 b x = a x + 2 b x \Leftrightarrow a = x$
よって，示された．

投稿日：2023年10月6日

更新日：2024年11月30日

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Kta

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