珍しく問題に挑戦！
解いてみた
ちゃ，にんとぅくです．$\text{magna}$氏が$\text{AI}$に作らせた問題の回答を書いてみたよ．
自分ひとりの力で完答したわけじゃないよ．
実対称行列$M = (m_{ij})_{n \times n}$は，対角成分がすべて$1$であり，$M \neq I$とする．また$M^3 - 7M +6I = 0$を満たす．このような$M$が存在する最小のサイズを$n$とする．その最小サイズにおいて$S = \sum_{i \neq j} (m_{ij})^2$を求めよ．最終回答は$(n,S)$の形で答えよ．
$\langle \text{ solution }\rangle$
スペクトル定理より，$M$は直交行列$Q$を用いて
$M = QDQ^T$
と対角化できる．与式に代入して整理すると
$Q(D^3 - 7D -6I)Q^T = 0$
となる．したがって，$M$の任意の固有値$\lambda_i$に対して
$\lambda^3_i - 7\lambda_i - 6 =
(\lambda_i - 1)(\lambda_i - 2)(\lambda_i + 3) = 0
$
であるので，固有値は$1,2,-3$に限られる．ここで，それぞれの重複度を$x, y, z$とすると，
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\Tr{M} =
\displaystyle{\sum_{i=1}^n \lambda_i} =
x+2y-3z = n \\
x+y+z = n
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
より，$(x,y,z,n)=(0,4,1,5)$を得る．したがって，
$D = \operatorname{diag}{(2,2,2,2,3)}$
である．一方$M^2$を計算すると
$$
M^2 =
\left(
\sum_{k=1}^{5} m_{ik} m_{kj}
\right)_{5 \times 5}
$$
であり，これの$(i,i)$-成分は
$$
\sum_{k=1}^{5} m_{ik} m_{ki} =
\sum_{k=1}^{5} m_{ik}^2 \quad (\because M^T = M)
$$
となる．さらに，$\text{Frobenius}$の定理の帰結として行列$A$の固有値$\lambda_1, \dots, \lambda_m$に対して
$$\Tr{A^k} = \lambda_1^k +\cdots+ \lambda_m^k$$
が成り立つ．したがって
$$
S = \sum_{k=1}^{5} (M^2)_{ii} - m^2_{ii} =
\sum_{i=1}^{5} \lambda_i^2 - 5 =
25-5=20
$$
となる．よって求める答えは$(n, S) = (5,20)$ __//
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