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同値類を使わずに整数を構成したい

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はじめに

タイトルの通りです.
同値類を使わずに整数を構成し,そのあとで何かしらの理論を展開するというわけではなく,ただ構成するだけの記事となっています.
Nの構成については触れませんが,0は含むものとします.

符号付き自然数

台集合

以下,S:={m,p}とします.これは2点集合であればなんでもよく,m,pの具体的な姿には触れません.
また,N>0で,0以外の自然数全体がなす集合を表すものとします.

符号付き自然数Ns

集合Nsを,
Ns:=S×Ns{0}
と定め,Nsの元を符号付き自然数とよぶ.

略記

以下では必要に応じて,nN>0に対し
+n:=(p,n)n:=(m,n)
を形式な表記として採用します.

符号・絶対値

符号付き自然数の符号

sgn:Ns{0}Sを第一成分の射影とする.このもとで,sgnnn符号とよぶ.

0の符号は定義しません.

符号付き自然数の絶対値

||:Ns{0}Nを第二成分の射影とし,これを|0|:=0により拡張する.このもとで,|n|n絶対値とよぶ.

順序の導入

演算を定義するにあたって,順序が定義されていた方が便利なので,先に順序を定義してしまいます.以下では,N上の通常の順序とします.

符号付き自然数の順序

Ns上の二項関係を,n1,n2Nsに対し,
n1n2:{|n2||n1|(sgnn1=sgnn2=m)|n1||n2|(sgnn1=sgnn2=p)n2=0(sgnn1=m)n1=0(sgnn2=p)sgnn1=m and sgnn2=pn1=n2=0
で定める.

符号が導入されている関係でかなり複雑です.

は順序

定義4におけるNs上の全順序である.

順序の公理を確かめればよいです.ここでは証明は省略します.

演算の導入

乗法

比較的定義が簡単な乗法からスタートします.

符号付き自然数の乗法

×:Ns×NsNsを,n1,n2Nsに対し,
×(n1,n2):={(p,|n1||n2|)(sgnn1=sgnn2)(m,|n1||n2|)(sgnn1sgnn2)0(|n1||n2|=0)
で定める.

ここで,sgnn1=sgnn2sgnn1sgnn2という式は,n1,n2の符号が定義できるということも含んでいます.
以下では,×(n1,n2)n1×n2と書きます.
次の命題は明らかでしょう.

乗法は可換

定義5の乗法はNs上の可換な演算である.

乗法単位元

+1×における単位元である.

乗法の計算例
  1. (p,2)×(p,5)=(p,10)である.したがって,略記で書けば(+2)×(+5)=+10が成立する.
  2. (m,9)×(m,9)=(p,81)である.したがって,(9)×(9)=+81が成立する.
  3. (m,16)×(p,3)=(m,48)である.したがって,(16)×(+3)=48が成立する.
  4. (p,100)×0=0である.したがって,(+100)×0=0が成立する.

加法

乗法と違い,加法は面倒な定義となってしまいます.

符号付き自然数の加法

+:Ns×NsNsを,n1,n2Nsに対し,
+(n1,n2):={(p,|n1|+|n2|)(sgnn1=sgnn2=p)(m,|n1|+|n2|)(sgnn1=sgnn2=m)(p,|n2||n1|)(sgnn1=m and sgnn2=p and |n1||n2|)(m,|n1||n2|)(sgnn1=m and sgnn2=p and |n1||n2|)(p,|n1||n2|)(sgnn1=p and sgnn2=m and |n1||n2|)(m,|n2||n1|)(sgnn1=p and sgnn2=m and |n1||n2|)n1(n2=0)n2(n1=0)
で定める.

場合分けが膨大ですね.
以下では,+(n1,n2)n1+n2と書きます.
次の命題は一部明らかでない点が含まれています.その部分だけ証明を行いましょう.

加法は可換

定義6の加法はNs上の可換な演算である.

sgnn1=mかつsgnn2=pかつ|n1||n2|の場合のみ示す(sgnn1sgnn2の他パターンは全て同様に示せる).このとき,
n1+n2=(p,|n2||n1|)
である.一方,
n2+n1=(p,|n2||n1|)
である.よってこの場合は可換である.

次の命題は明らかです.

加法単位元

0+における単位元である.

加法の計算例
  1. (+1)+(+1)=+2
  2. (3)+(9)=12
  3. (1)+(+10)=+9
  4. (5)+(+3)=2
  5. (+2)+(1)=+1
  6. (+4)+(9)=5
  7. (+60)+0=+60
  8. 0+(73)=73

時間があれば確かめてみてください.

減法

減法は加法を用いて簡単に定義できます.

符号付き自然数の減法

:Ns×NsNsを,n1,n2Nsに対し,
(n1,n2):=n1+(1×n2)
で定める.

減法の計算例
  1. (+4)(+2)=(+4)+((1)×(+2))=(+4)+(2)=+2
  2. (+1)(+1)=0

符号付き自然数の代数構造

分配法則

加法と乗法が定義されたら,次に気になるのはこれらの相性です.

符号付き自然数の分配法則

n1,n2,n3Nsに対し,以下が成立する.
(1) n1×(n2+n3)=(n1×n2)+(n1×n3)
(2) (n1+n2)×n3=(n1×n3)+(n2×n3)

場合分けが膨大なので一旦省略します.記事の修正の機会があれば追記します.

NsZの関係

このようにして,次が成立します.

符号付き自然数環

(Ns,+,×)は環である.

NsZは同型

写像φ:ZNsを,nZに対し,
φ(n):={(p,n)(n0)0(n=0)(m,n)(n0)
で定めると,これは同型写像である.したがって,NsZは同型である.

+の定義に従って準同型であることを示せばよいです.

おわりに

以上のようにして,同値類の概念を用いることなく整数を構成することができました.最初はこちらの方が種々の議論や定義が見やすく整理されると思っていましたが,実際に着手してみると加法の定義がかなりの曲者でした.素直にN×Nの商集合として定義していれば加法はかなり楽に定義できるので,結果としては符号付き自然数を経由する方が損です.

ご指摘等ありましたらコメントまでお願いします.

投稿日:20231017
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  1. はじめに
  2. 符号付き自然数
  3. 台集合
  4. 略記
  5. 符号・絶対値
  6. 順序の導入
  7. 演算の導入
  8. 乗法
  9. 加法
  10. 減法
  11. 符号付き自然数の代数構造
  12. 分配法則
  13. $\mathbb{N}_s$$\mathbb{Z}$の関係
  14. おわりに