Holdemanの展開公式
$P_n$をLegendre多項式とする. 以下の特別な形の超幾何関数に関して展開公式が知られている.
\begin{align} \F21{a,b}1{\frac{1+x}2}&=\frac{\Gamma(2-a-b)}{\Gamma(2-a)\Gamma(2-b)}\sum_{0\leq n}\frac{(2n+1)(a,b)_n}{(2-a,2-b)_n}P_n(x) \end{align}
Legendre多項式の直交性より,
\begin{align}
\F21{a,b}1{\frac{1+x}2}&=\sum_{0\leq n}a_nP_n(x)
\end{align}
と展開したときの係数は
\begin{align}
a_n&=\frac{2n+1}2\int_{-1}^1\F21{a,b}{1}{\frac{1+x}2}P_n(x)\,dx
\end{align}
で与えられる. ここで, Rodriguesの公式
\begin{align}
P_n(x)&=\frac 1{2^nn!}\left(\frac d{dx}\right)^n(x^2-1)^n
\end{align}
を用いて, $n$回部分積分してベータ積分により,
\begin{align}
a_n&=\frac 1{2^nn!}\frac{2n+1}2\int_{-1}^1\F21{a,b}{1}{\frac{1+x}2}\left(\frac d{dx}\right)^n(x^2-1)^n\,dx\\
&=\frac{(-1)^n}{2^nn!}\frac{2n+1}2\int_{-1}^1\left(\frac d{dx}\right)^n\left(\F21{a,b}{1}{\frac{1+x}2}\right)(x^2-1)^n\,dx\\
&=\frac{(-1)^n(a,b)_n}{2^{2n}n!^2}\frac{2n+1}2\int_{-1}^1\F21{a+n,b+n}{1+n}{\frac{1+x}2}(x^2-1)^n\,dx\\
&=\frac{(-1)^n(a,b)_n}{2^{2n}n!^2}\frac{2n+1}2\sum_{0\leq k}\frac{(a+n,b+n)_k}{k!(1+n)_k}\frac 1{2^k}\int_{-1}^1(x-1)^n(x+1)^{n+k}\,dx\\
&=\frac{(a,b)_n}{2^{2n}n!^2}\frac{2n+1}2\frac{2^{2n+1}n!^2}{(2n+1)!}\sum_{0\leq k}\frac{(a+n,b+n)_k}{k!(2n+2)_k}\\
&=\frac{(a,b)_n}{(2n)!}\sum_{0\leq k}\frac{(a+n,b+n)_k}{k!(2n+2)_k}
\end{align}
ここで, Gaussの超幾何定理より,
\begin{align}
&\frac{(a,b)_n}{(2n)!}\sum_{0\leq k}\frac{(a+n,b+n)_k}{k!(2n+2)_k}\\
&=\frac{(2n+1)!\Gamma(2-a-b)}{\Gamma(2-a+n)\Gamma(2-b+n)}
\end{align}
だから,
\begin{align}
a_n&=\frac{\Gamma(2-a-b)}{\Gamma(2-a)\Gamma(2-b)}\frac{(2n+1)(a,b)_n}{(2-a,2-b)_n}
\end{align}
となって定理を得る.
特別な場合として, $a=b=\frac 12$とすると, 以下の第1種完全楕円積分の展開公式を得る.
\begin{align} \F21{\frac 12,\frac 12}1{\frac{1+x}2}&=\frac{4}{\pi}\sum_{0\leq n}\frac{P_n(x)}{2n+1} \end{align}
同様に, $a=\frac 12,b=-\frac 12$として第2種完全楕円積分の展開公式も得ることができる.
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