微分音を数学で考える

微分音,音楽

この記事では.筆者が試した限り、JavaScriptなどで音を出す機能が使えません。ほかの方法(desmosのtone機能を使うなど)でお試しください。

はじめに

こんにちは。音楽に興味はありますか？私たちの聴覚に働きかける音楽というのは不思議ですよね!今日は微分音について数学的に解説していきます。

準備

オクターブ

まずオクターブというのは、ある音からその音の2倍の周波数の音までの距離であり、例えば、$432Hz$のラの$1$オクターブ上の音は$864Hz$の音となっています。

表記法

続いて表記法ですが、科学的ピッチ表記法を使います。ラの音を$A$とし、そこから順にシは$B$、ドは$C$というように、$A$から$G$までつけていきます。ドレミファソラシドがCDEFGABとなるわけですね！

オクターブの区別については、$432Hz$のラの音を$A4$とし、そこから$1$オクターブ上はA5、というふうに数字で順序をつけていきます。
$216Hz$は$A3$、$1728Hz$は$A6$となります。
ただし$B4$の次は$C5$となることに注意してください。$B5$の次は$C6$ですね!

純正律について

音律には平均律、純正律、ピタゴラス音律などがありますが、今回は純正律を使っていきます。この音律は、各音階を互いに素な整数比の周波数で決めます。

音階	$A4$	$A♯4$	$B4$	$C5$	$C♯5$	$D5$	$D♯5$	$E5$	$F5$	$F♯5$	$G5$	$G♯5$	$A5$
周波数比	$1:1$	$15:16$	$8:9$	$5:6$	$4:5$	$3:4$	$32:45$	$2:3$	$5:8$	$3:5$	$9:16$	$8:15$	$1:2$
素因数	$1:1$	$3\cdot5:2^4$	$2^3:3^2$	$5:2\cdot3$	$2^2:5$	$3:2^2$	$2^5:3^2\cdot5$	$2:3$	$5:2^3$	$3:5$	$3^2:2^4$	$2^3:3\cdot5$	$1:2$

これを計算すると…

音階	$A4$	$A♯4$	$B4$	$C5$	$C♯5$	$D5$	$D♯5$	$E5$	$F5$	$F♯5$	$G5$	$G♯5$	$A5$
周波数[Hz]	$432.00$	$469.33$	$495.00$	$528.00$	$550.00$	$586.67$	$618.75$	$660.00$	$704.00$	$733.33$	$782.22$	$825.00$	$864.00$

ここに示した周波数比はあくまで主音がAの場合です。何を主音とするか、また何の調にするかで変わってくるので、必ず全ての音に成り立つとは限りません。

周波数比を生かして$4:5:6$などのコードも作ることができます。
ところで何か規則性があることに気づいたでしょうか?
それは全ての周波数比の素因数が$2$,$3$,$5$の$3$つまででできていることです。
素因数が$5$までの音律なので5-limit tuningと呼ばれることがあります。

新しく素因数を追加しよう

$2$,$3$,$5$ときたら$7$といきたいものです。
新しく$7$という素因数を追加しましょう。
そうして得られた音が微分音です。
$432\cdot7/4Hz$:
$432\cdot7/5Hz$:
$432\cdot6/7Hz$:
$432\cdot9/7Hz$:
筆者が聞いてみたところ、少し不気味さを感じますね…
この微分音を使って$4:5:6:7$などのコードを作ることができます。
これが7-limit tuningです!
ほかにも$11$の素因数を入れたりして自由度を高めることができます。