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3F2の部分和に関する等式

以下の形でWhippleの変換公式を用いる.

Whipple(1926)

$a, b, c, d$ のどれかが $0$ 以下の整数, $a + b + c + d + 1 = e + f + g$ のとき
$\begin{aligned} _{4} F_{3} [\begin{array}{c} a, b, c, d \\ e, f, g \end{array}; 1] & = \frac{Γ (f + g - d) Γ (1 + a - d) Γ (1 + b - d) Γ (1 + c - d)}{Γ (1 + a + b - d) Γ (1 + a + c - d) Γ (1 + b + c - d) Γ (1 - d)} \\ \cdot_{7} F_{6} [\begin{array}{c} a + b + c - d, 1 + \frac{a + b + c - d}{2}, a, b, c, f - d, g - d \\ \frac{a + b + c - d}{2}, 1 + a + b - d, 1 + a + c - d, 1 + b + c - d, f, g \end{array}; 1] \end{aligned}$
が成り立つ.

次はBaileyによって1931年に示された公式である.

$a + b + c + 1 = d + e$ のとき,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{(a, b, c)_{k}}{k! (d, e)_{k}} & = \frac{Γ (d + e + n - 1) Γ (a + n) Γ (b + n) Γ (c + n)}{Γ (n) Γ (a + b + n) Γ (a + c + n) Γ (b + c + n)} \\ \cdot_{7} F_{6} [\begin{array}{c} a + b + c + n - 1, 1 + \frac{a + b + c + n - 1}{2}, a, b, c, d + n - 1, e + n - 1 \\ \frac{a + b + c + n - 1}{2}, a + b + n, a + c + n, b + c + n, d, e \end{array}; 1] \end{aligned}$
が成り立つ.

定理1において, $d = 1 - n$ としてから, $e = 1 - n$ とすると, $a + b + c + 1 = f + g$ のとき,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{(a, b, c)_{k}}{k! (f, g)_{k}} & = \frac{Γ (f + g + n - 1) Γ (a + n) Γ (b + n) Γ (c + n)}{Γ (n) Γ (a + b + n) Γ (a + c + n) Γ (b + c + n)} \\ \cdot_{7} F_{6} [\begin{array}{c} a + b + c + n - 1, 1 + \frac{a + b + c + n - 1}{2}, a, b, c, f + n - 1, g + n - 1 \\ \frac{a + b + c + n - 1}{2}, a + b + n, a + c + n, b + c + n, f, g \end{array}; 1] \end{aligned}$
となって定理が示される.

特別な場合として以下を得る.

$\begin{aligned} \frac{Γ (a + m) Γ (b + m)}{Γ (m) Γ (a + b + m)} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{(a, b, c + m - 1)_{k}}{k! (c, a + b + m)_{k}} & = \frac{Γ (a + n) Γ (b + n)}{Γ (n) Γ (a + b + n)} \sum_{k = 0}^{m - 1} \frac{(a, b, c + n - 1)_{k}}{k! (c, a + b + n)_{k}} \end{aligned}$

系1において, $c \mapsto d + m - 1, e \mapsto a + b + m$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{(a, b, d + m - 1)_{k}}{k! (d, a + b + m)_{k}} & = \frac{Γ (a + b + d + m + n - 1) Γ (a + n) Γ (b + n) Γ (d + m + n - 1)}{Γ (n) Γ (a + b + n) Γ (a + d + m + n - 1) Γ (b + d + m + n - 1)} \\ \cdot_{7} F_{6} [\begin{array}{c} a + b + d + n + m - 1, 1 + \frac{a + b + d + m + n - 1}{2}, a, b, d + n - 1, d + m - 1, a + b + m + n - 1 \\ \frac{a + b + d + m + n - 1}{2}, a + b + n, a + b + m, a + d + m + n - 1, b + d + m + n - 1 \end{array}; 1] \end{aligned}$
となる. よって, 特に
$\begin{array}{r} \frac{Γ (a + m) Γ (b + m)}{Γ (m) Γ (a + b + m)} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{(a, b, d + m - 1)_{k}}{k! (d, a + b + m)_{k}} \end{array}$
は $n, m$ に関して対称であるから定理を得る.

$m \to \infty$ とすると, $_{2} F_{1}$ に関する以下の等式を得る.

$\begin{aligned} \frac{Γ (a + m) Γ (b + m)}{Γ (m) Γ (a + b + m)} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{(a, b)_{k}}{k! (c)_{k}} & = \frac{Γ (a + n) Γ (b + n)}{Γ (n) Γ (a + b + n)} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(a, b, c + n - 1)_{k}}{k! (c, a + b + n)_{k}} \end{aligned}$

これはWatsonによって1930年に示された等式である.

参考文献

[1]

F. J. W. Whipple, On Well-Poised Series, Generalized Hypergeometric Series having Parameters in Pairs, each Pair with the Same Sum, Proceedings of The London Mathematical Society, 1926

[2]

W. N. Bailey, The Partial Sum of the Coefficients of the Hypergeometric Series, J. London Math. Soc., 1931

投稿日：1月20日