3F2の部分和に関する等式
以下の形でWhippleの変換公式を用いる.
$a,b,c,d$のどれかが$0$以下の整数, $a+b+c+d+1=e+f+g$のとき
\begin{align}
\F43{a,b,c,d}{e,f,g}1&=\frac{\Gamma(f+g-d)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+b-d)\Gamma(1+c-d)}{\Gamma(1+a+b-d)\Gamma(1+a+c-d)\Gamma(1+b+c-d)\Gamma(1-d)}\\
&\cdot\F76{a+b+c-d,1+\frac{a+b+c-d}2,a,b,c,f-d,g-d}{\frac{a+b+c-d}2,1+a+b-d,1+a+c-d,1+b+c-d,f,g}1
\end{align}
が成り立つ.
次はBaileyによって1931年に示された公式である.
$a+b+c+1=d+e$のとき,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(a,b,c)_k}{k!(d,e)_k}&=\frac{\Gamma(d+e+n-1)\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)\Gamma(c+n)}{\Gamma(n)\Gamma(a+b+n)\Gamma(a+c+n)\Gamma(b+c+n)}\\
&\cdot \F76{a+b+c+n-1,1+\frac{a+b+c+n-1}2,a,b,c,d+n-1,e+n-1}{\frac{a+b+c+n-1}2,a+b+n,a+c+n,b+c+n,d,e}1
\end{align}
が成り立つ.
定理1において, $d=1-n$としてから, $e=1-n$とすると, $a+b+c+1=f+g$のとき,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(a,b,c)_k}{k!(f,g)_k}&=\frac{\Gamma(f+g+n-1)\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)\Gamma(c+n)}{\Gamma(n)\Gamma(a+b+n)\Gamma(a+c+n)\Gamma(b+c+n)}\\
&\cdot \F76{a+b+c+n-1,1+\frac{a+b+c+n-1}2,a,b,c,f+n-1,g+n-1}{\frac{a+b+c+n-1}2,a+b+n,a+c+n,b+c+n,f,g}1
\end{align}
となって定理が示される.
特別な場合として以下を得る.
\begin{align} \frac{\Gamma(a+m)\Gamma(b+m)}{\Gamma(m)\Gamma(a+b+m)}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(a,b,c+m-1)_k}{k!(c,a+b+m)_k}&=\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)}{\Gamma(n)\Gamma(a+b+n)}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(a,b,c+n-1)_k}{k!(c,a+b+n)_k} \end{align}
系1において, $c\mapsto d+m-1, e\mapsto a+b+m$とすると,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(a,b,d+m-1)_k}{k!(d,a+b+m)_k}&=\frac{\Gamma(a+b+d+m+n-1)\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)\Gamma(d+m+n-1)}{\Gamma(n)\Gamma(a+b+n)\Gamma(a+d+m+n-1)\Gamma(b+d+m+n-1)}\\
&\cdot\F76{a+b+d+n+m-1,1+\frac{a+b+d+m+n-1}2,a,b,d+n-1,d+m-1,a+b+m+n-1}{\frac{a+b+d+m+n-1}2,a+b+n,a+b+m,a+d+m+n-1,b+d+m+n-1}1
\end{align}
となる. よって, 特に
\begin{align}
\frac{\Gamma(a+m)\Gamma(b+m)}{\Gamma(m)\Gamma(a+b+m)}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(a,b,d+m-1)_k}{k!(d,a+b+m)_k}
\end{align}
は$n,m$に関して対称であるから定理を得る.
$m\to\infty$とすると, ${}_2F_1$に関する以下の等式を得る.
\begin{align} \frac{\Gamma(a+m)\Gamma(b+m)}{\Gamma(m)\Gamma(a+b+m)}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}&=\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)}{\Gamma(n)\Gamma(a+b+n)}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(a,b,c+n-1)_k}{k!(c,a+b+n)_k} \end{align}
これはWatsonによって1930年に示された等式である.
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