0の素因数分解

※この記事は雑に書いたものです. 厳密性や正しさが欠けています. ご了承ください.

先日「$0$と$1$は互いに素である」という文を見かけました.
互いに素と言えば、私は数学ガールの影響で$a\perp b$というクヌースの記法を好んで用います. これは, $a,b$を素因数分解して$a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}\dots,\ b=p_1^{b_1}p_2^{b_2}p_3^{b_3}\dots$となるとき, 二つのベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3,\dots),\ \vec{b}=(b_1,b_2,b_3,\dots)$の内積を考えると, $a,b$が互いに素ならば$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$となることが理由です.

さて, $\vec{1}=(0,0,0\,\dots)$です. これは$1$が任意の整数と互いに素になることと合致します.

では$\vec{0}$はどうなるでしょう. つまり$0$の素因数分解はどうなるでしょうか.
まず, 普通の数（正整数）で考えてみます. 大抵の場合, 素因数分解するときは筆算で求めます. $60$なら以下の通りです.

\begin{align*} 2&)\underline{60}\\ 2&)\underline{30}\\ 3&)\underline{15}\\ &\quad 5 \end{align*}

では$0$ならどうなるでしょう.

\begin{align*} 2&)\underline{0}\\ 2&)\underline{0}\\ 2&)\underline{0}\\ &\ \ 0 \end{align*}

おや, いくらでも割れてしまいますね.
ということは$0$の素因数分解は$2^\infty\cdot 3^\infty\cdot 5^\infty\cdot\cdots$となるのではないでしょうか?

ということは$\vec{0}=(\infty,\infty,\infty,\dots)$となります. すると$$\vec{0}\cdot\vec{1}=\sum_{i=1}^\infty 0\cdot\infty$$ですかね. すごい雑に$\infty$を使ったので正直こいつがどうなるかいまいちわかりませんが, $0$になってほしいところです.

駄文にお付き合いいただきありがとうございました.
正直このくらいのことなら考える人は結構いそうですし, 何かしらの結果が得られているかもしれません. 暇があればもう少しちゃんと考えてみようと思います.