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0の素因数分解

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$$\newcommand{combi}[2]{{}_{#1}C_{#2}} \newcommand{pasfibo}[0]{![算術三角形とフィボナッチ数列](/uploads/image/20201113231516.jpg =360)} \newcommand{sanzyutusankakukei}[0]{![算術三角形](/uploads/image/20201113231328.jpg =400)} $$

※この記事は雑に書いたものです. 厳密性や正しさが欠けています. ご了承ください.

先日「$0$$1$は互いに素である」という文を見かけました.
互いに素と言えば、私は数学ガールの影響で$a\perp b$というクヌースの記法を好んで用います. これは, $a,b$を素因数分解して$a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}\dots,\ b=p_1^{b_1}p_2^{b_2}p_3^{b_3}\dots$となるとき, 二つのベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3,\dots),\ \vec{b}=(b_1,b_2,b_3,\dots)$の内積を考えると, $a,b$が互いに素ならば$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$となることが理由です.

さて, $\vec{1}=(0,0,0\,\dots)$です. これは$1$が任意の整数と互いに素になることと合致します.

では$\vec{0}$はどうなるでしょう. つまり$0$の素因数分解はどうなるでしょうか.
まず, 普通の数(正整数)で考えてみます. 大抵の場合, 素因数分解するときは筆算で求めます. $60$なら以下の通りです.

\begin{align*} 2&)\underline{60}\\ 2&)\underline{30}\\ 3&)\underline{15}\\ &\quad 5 \end{align*}

では$0$ならどうなるでしょう.

\begin{align*} 2&)\underline{0}\\ 2&)\underline{0}\\ 2&)\underline{0}\\ &\ \ 0 \end{align*}

おや, いくらでも割れてしまいますね.
ということは$0$の素因数分解は$2^\infty\cdot 3^\infty\cdot 5^\infty\cdot\cdots$となるのではないでしょうか?

ということは$\vec{0}=(\infty,\infty,\infty,\dots)$となります. すると$$\vec{0}\cdot\vec{1}=\sum_{i=1}^\infty 0\cdot\infty$$ですかね. すごい雑に$\infty$を使ったので正直こいつがどうなるかいまいちわかりませんが, $0$になってほしいところです.

駄文にお付き合いいただきありがとうございました.
正直このくらいのことなら考える人は結構いそうですし, 何かしらの結果が得られているかもしれません. 暇があればもう少しちゃんと考えてみようと思います.

投稿日:21日前
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三星聯
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主にフィボナッチ数列とパスカルの三角形の関係について書いていくと思います。

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