0の素因数分解

※この記事は雑に書いたものです. 厳密性や正しさが欠けています. ご了承ください.

先日「$0$と$1$は互いに素である」という文を見かけました.
互いに素と言えば、私は数学ガールの影響で$a\perp b$というクヌースの記法を好んで用います. これは, $a,b$を素因数分解して$a=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}{p}_3^{a_3}\dots ,b=p_1^{b_1}{p}_2^{b_2}{p}_3^{b_3}\dots$となるとき, 二つのベクトル$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3,\dots ),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3,\dots )$の内積を考えると, $a,b$が互いに素ならば$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$となることが理由です.

さて, $\overrightarrow{1}=(0,0,0\dots )$です. これは$1$が任意の整数と互いに素になることと合致します.

では$\overrightarrow{0}$はどうなるでしょう. つまり$0$の素因数分解はどうなるでしょうか.
まず, 普通の数（正整数）で考えてみます. 大抵の場合, 素因数分解するときは筆算で求めます. $60$なら以下の通りです.

$$\begin{array}{rl}2& )\underset{―}{60}\\ 2& )\underset{―}{30}\\ 3& )\underset{―}{15}\\ & 5\end{array}$$

では$0$ならどうなるでしょう.

$$\begin{array}{rl}2& )\underset{―}{0}\\ 2& )\underset{―}{0}\\ 2& )\underset{―}{0}\\ & 0\end{array}$$

おや, いくらでも割れてしまいますね.
ということは$0$の素因数分解は$2^{\mathrm{\infty }}\cdot 3^{\mathrm{\infty }}\cdot 5^{\mathrm{\infty }}\cdot \cdots$となるのではないでしょうか?

ということは$\overrightarrow{0}=(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty },\mathrm{\infty },\dots )$となります. すると$$\overrightarrow{0}\cdot \overrightarrow{1}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}0\cdot \mathrm{\infty }$$ですかね. すごい雑に$\mathrm{\infty }$を使ったので正直こいつがどうなるかいまいちわかりませんが, $0$になってほしいところです.

駄文にお付き合いいただきありがとうございました.
正直このくらいのことなら考える人は結構いそうですし, 何かしらの結果が得られているかもしれません. 暇があればもう少しちゃんと考えてみようと思います.