東大数理院試過去問解答例(2015A05)

ある$n$に対して$a_n=\sqrt[3]{2}$のときは任意の$n$についてこれが成り立つので、特に$\sqrt[3]{2}$に収束する。よって以下任意の$n$について$a_n\neq\sqrt[3]{2}$とする。初期値$a_1$に関わらず$a_2$以降常に$1$より大きくなるから、常に$1$以上であると仮定して良い。$f(x)=1+\frac{1}{1+x+x^2}(x> 0)$とおく。このとき平均値の定理及び$f$の狭義単調減少性・下に凸性から
$$ \left|\frac{a_{n+1}-\sqrt[3]{2}}{a_n-\sqrt[3]{2}}\right|\leq f'(\min\{a_{n},a_{n+1}\})\leq f'(1)=\frac{1}{3} $$
が成り立っている。以上から$\{a_n\}$は収束値${\color{red}\sqrt[3]{2}}$を持つ。