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東大数理院試過去問解答例(2015A05)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2015A05の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2015A05

次の漸化式
an+1=1+11+an+an2
を満たす実数列はある実数に収束することを示し、その値を求めなさい。

あるnに対してan=23のときは任意のnについてこれが成り立つので、特に23に収束する。よって以下任意のnについてan23とする。初期値a1に関わらずa2以降常に1より大きくなるから、常に1以上であると仮定して良い。f(x)=1+11+x+x2(x>0)とおく。このとき平均値の定理及びfの狭義単調減少性・下に凸性から
|an+123an23|f(min{an,an+1})f(1)=13
が成り立っている。以上から{an}は収束値23を持つ。

投稿日:2024811
更新日:2024811
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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