反復積分についてのCauchyの公式といろいろ

普通に展開して示します。
\begin{align}\notag \frac{d}{dx}\biggl(\int_{a}^{x}(x-t)^nf(t)\,dt\biggr)&=\frac{d}{dx}\biggl(\sum_{k=0}^{n} \int_{a}^{x}{}_n C_kx^{k}(-t)^{n-k}f(t)dt\biggr)\\\notag &=\sum_{k=1}^{n}\biggl(kx^{k-1}{}_n C_k\int_{a}^{x}(-t)^{n-k}f(t)dt+{}_n C_kx^k\cdot (-x)^{n-k}f(x)\biggr)+(-x)^nf(x)\\\notag &=\sum_{k=1}^{n}\biggl(nx^{k-1}{}_{n-1} C_{k-1}\int_{a}^{x}(-t)^{n-k}f(t)dt+{}_n C_kx^k(-x)^{n-k}f(x)\biggr)+(-x)^nf(x)\\\notag &=n\int_{a}^{x}\sum_{k=0}^{n-1}{}_{n-1}C_{k}x^k(-t)^{n-1-k}f(t)dt+\sum_{k=0}^{n}{}_n C_kx^k(-x)^{n-k}f(x)\\\notag &=n\int_{a}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)dt+(x-x)^nf(x)\\\notag &=n\int_{a}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)dt \end{align}
よって示せた。

数学的帰納法で示します。
まず、n=1について、
$$\int_{a}^{x}f(t)\,dt=\frac{1}{(1-1)!}\int_{a}^{x}(x-t)^{1-1}f(t)\,dt$$
であるから成立。
n=kでの成立を仮定したとき、
\begin{align}\notag \int_{a}^{x}\!\!\!\int_{a}^{x_1}\!\!\!\int_{a}^{x_2}\cdots\int_{a}^{x_{k}}f(x_{k+1})\,dx_{k+1}\cdots dx_{2}dx_1 &=\int_{a}^{x}\!\!\!\:\biggl(\frac{1}{(k-1)!}\int_{a}^{t}(t-s)^{k-1}f(s)\,ds\biggr)dt \end{align}
ここで、先程導いた式から、$$\frac{d}{dt}\biggl(\int_{a}^{t}(t-s)^kf(s)\,ds\biggr)=k\int_{a}^{t}(t-s)^{k-1}f(s)ds$$
であるから、
\begin{align}\notag \int_{a}^{x}\!\!\!\:\biggl(\frac{1}{(k-1)!}\int_{a}^{t}(t-s)^{k-1}f(s)\,ds\biggr)dt&=\int_{a}^{x}\!\!\!\:\biggl\{\frac{d}{dt}\biggl(\frac{1}{k!}\int_{a}^{t}(t-s)^{k}f(s)\,ds\biggl)\biggr\}dt\\\notag &=\frac{1}{k!}\int_{a}^{x}(x-t)^kf(t)dt \end{align}
よってこのとき$n=k+1$でも成立する。
したがって数学的帰納法から示された。

反復積分の公式と、もとの反復積分の定義から等式を作り出すことができます。
反復積分についてのCauchyの公式より、
$$\int_{\alpha}^{x}\!\!\!\int_{\alpha}^{x_1}\!\!\!\int_{\alpha}^{x_2}\cdots\int_{\alpha}^{x_{m}}(x_{m+1}-\alpha)^{n}\,dx_{m+1}\cdots dx_{2}dx_1=\frac{1}{m!}\int_{\alpha}^{x}(x-t)^{m}(t-\alpha)^n\,dt$$である。ここで、左辺の式は容易に計算することができ、$$\int_{\alpha}^{x}(x-\alpha)^k\,dx=\frac{(x-\alpha)^{k+1}}{k+1}$$が任意の自然数$k$に成り立つことに注意すれば、
\begin{align} \int_{\alpha}^{x}\!\!\!\int_{\alpha}^{x_1}\!\!\!\int_{\alpha}^{x_2}\cdots\int_{\alpha}^{x_{m}}(x_{m+1}-\alpha)^{n}\,dx_{m+1}\cdots dx_{2}dx_1&=\frac{(x-\alpha)^{n+m+1}}{(n+1)(n+2)\cdots(n+m+1)}\\ &=\frac{n!}{(m+n+1)!}(x-\alpha)^{m+n+1} \end{align}
が成立する。これを先ほどの式にもどせば、
\begin{align}\notag \frac{1}{m!}\int_{\alpha}^{x}(x-t)^{m}(t-\alpha)^n\,dt=\frac{n!}{(m+n+1)!}(x-\alpha)^{m+n+1}\\\notag \iff \int_{\alpha}^{x}(x-t)^{m}(t-\alpha)^n\,dt=\frac{m!\,n!}{(m+n+1)!}(x-\alpha)^{m+n+1} \end{align}
ここで$x=\beta$を代入してから、$t$を$x$にかえてあげれば、
$$\int_{\alpha}^{\beta}(\beta -x)^m(x-\alpha)^n\,dx = \frac{m!\,n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$$
となって示された。

反復積分についてのCauchyの公式より、
$$\int_{a}^{x}\!\!\!\int_{a}^{x_1}\!\!\!\int_{a}^{x_2}\cdots\int_{a}^{x_{n}}e^{x_{n+1}}\,dx_{n+1}\cdots dx_{2}dx_1=\frac{1}{n!}\int_{a}^{x}(x-t)^{n}e^t\,dt$$
左辺は容易に計算することができ、
$$\int_{a}^{x}\!\!\!\int_{a}^{x_1}\!\!\!\int_{a}^{x_2}\cdots\int_{a}^{x_{n}}e^{x_{n+1}}\,dx_{n+1}\cdots dx_{2}dx_1=e^x-\sum_{k=1}^{n}\frac{x^k}{k!}$$
とわかるので、ここから
$$e^x=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^k}{k!}+\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}(x-t)^{n}e^t\,dt$$
となるので示せた。