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2024JMO予選5,7,8

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はじめに

せっかくだし書く。
書きたい奴だけ書く。

本記事にはJMO2024予選1~12の問題及び解答のネタバレが含まれます。
一部問題文を省略したり変えたりしています。

本編

JMO2024予選5

$10$以上の整数$n$であって,
$\displaystyle \left [\frac{n}{1}\right ]\left [\frac{n}{2}\right ]\cdots \left [\frac{n}{10}\right ]={}_n\mathrm{C}_{10}$
をみたすようなもののうち,最小のものを求めよ.

$[x]>x-1$であり,$[x]$は整数であるため,正整数$m,n$について
$\displaystyle \left [\frac{n}{m}\right ]\geq \frac{n-m+1}{m}$(等号成立条件は$n+1$$m$の倍数であること)
この不等式が$m=1,2,\cdots 10$において等号成立するため,$n+1$$1,2,\cdots 10$すべてで割り切れる.
$\mathrm{lcm}(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)=2520$より$n+1$$2520$の倍数であり,そのような正整数$n$の最小値は$\mathbf{2519}$

JMO2024予選7

次の条件をみたす$3$以上の素数$p$$1$以上$2024$以下の整数$a$の組$(p,a)$の個数を求めよ.

  • $a< p^4$
  • $ap^4+2p^3+2p^2+1$が平方数

$3$以上の素数$p$$0< x,y< p^4$なる整数$x,y$について,$x,y$$p$と互いに素で,$x^2\equiv y^2(\mathrm{mod}\ p^4)$のとき,
$x=y$または$x+y=p^4$

補題1

$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$$p^4$の倍数であり,
$(x+y)-(x-y)=2y$$p$の倍数でないので
$(x+y)$$(x-y)$のどちらか一方が$p^4$の倍数である.
$0< x,y< p^4$より,示された.

問題7

$ap^4+2p^3+2p^2+1=k^2$とする.
$k^2\leq (p^4-1)p^4+2p^3+2p^2+1< p^8$より$0< k< p^4$
$k^2\equiv 1(\mathrm{mod}\ p)$より$k$$p$は互いに素
$(p^3+p^2+1)^2=(p^2+2p+1)p^4+2p^3+2p^2+1$より
$k=p^3+p^2+1,p^4-p^3-p^2-1$の他にはない(補題1)


  • $k=p^3+p^2+1$
    $a=p^2+2p+1$より$a\leq 2024,p<45$
    よって$p=3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43$の13組

  • $k=p^4-p^3-p^2-1$
    $a=p^4-2p^3-p^2+2p-1$より$a\leq 2024,p\leq 7$
    よって$p=3,5,7$の3組

合わせて16組

JMO2024予選8

非負整数に対して定義され整数値をとる関数$f$が,任意の非負整数$m,n$に対して
$f(m+n)^2=f(m|f(n)|)+f(n^2)$
をみたしているとき,整数の組$(f(0),f(1),\cdots ,f(2024)$としてありえるものはいくつあるか.

$P(x,y)$で条件式への$m=x,n=y$の代入を表す.
$P(0,0)$より$f(0)^2=2f(0)$だから$f(0)=0,2$


  • $f(0)=0$
    $P(m,0)$より$f(m)^2=2f(0)=0$
    よって全部$0$

  • $f(0)=2$
    $P(0,1)$より$f(1)^2=2+f(1),f(1)=2,-1$
    $f(1)=-1$とすると$P(1,1)$より$f(2)^2=-2<0$となってしまうので,$f(1)=2$
    $P(m,0)$$P(m,1)$を比較して$f(m)^2=f(m+1)^2$
    帰納的に$f(m)^2=4$
    あとは$4=f(2m)+f(n^2)$より$f(2m)=f(n^2)=2$だから
    $m$が奇数かつ平方数でないときに$f(m)$$2$$-2$かを自由に決めればいいので$2^{990}$通り

したがって$2^{990}+1$

あとがき

4,5,7,8,9,10が好き。
9はBCとADの交点とってAFとBCの交点とって角の二等分線と方べきで解きました。

投稿日:110

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2023/10/26現在OMCのrateが黄色なので黄色い髪です. 青ざめても面倒くさいので変えないと思います.

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