2024JMO予選5,7,8
はじめに
せっかくだし書く。
書きたい奴だけ書く。
本記事にはJMO2024予選1~12の問題及び解答のネタバレが含まれます。
一部問題文を省略したり変えたりしています。
本編
$10$以上の整数$n$であって，
$\displaystyle \left [\frac{n}{1}\right ]\left [\frac{n}{2}\right ]\cdots \left [\frac{n}{10}\right ]={}_n\mathrm{C}_{10}$
をみたすようなもののうち，最小のものを求めよ．
$[x]>x-1$であり，$[x]$は整数であるため，正整数$m,n$について
$\displaystyle \left [\frac{n}{m}\right ]\geq \frac{n-m+1}{m}$(等号成立条件は$n+1$が$m$の倍数であること)
この不等式が$m=1,2,\cdots 10$において等号成立するため，$n+1$が$1,2,\cdots 10$すべてで割り切れる．
$\mathrm{lcm}(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)=2520$より$n+1$は$2520$の倍数であり，そのような正整数$n$の最小値は$\mathbf{2519}$
次の条件をみたす$3$以上の素数$p$と$1$以上$2024$以下の整数$a$の組$(p,a)$の個数を求めよ．
- $a< p^4$
- $ap^4+2p^3+2p^2+1$が平方数
$3$以上の素数$p$と$0< x,y< p^4$なる整数$x,y$について，$x,y$が$p$と互いに素で，$x^2\equiv y^2(\mathrm{mod}\ p^4)$のとき，
$x=y$または$x+y=p^4$
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$は$p^4$の倍数であり，
$(x+y)-(x-y)=2y$は$p$の倍数でないので
$(x+y)$と$(x-y)$のどちらか一方が$p^4$の倍数である．
$0< x,y< p^4$より，示された．
$ap^4+2p^3+2p^2+1=k^2$とする．
$k^2\leq (p^4-1)p^4+2p^3+2p^2+1< p^8$より$0< k< p^4$
$k^2\equiv 1(\mathrm{mod}\ p)$より$k$と$p$は互いに素
$(p^3+p^2+1)^2=(p^2+2p+1)p^4+2p^3+2p^2+1$より
$k=p^3+p^2+1,p^4-p^3-p^2-1$の他にはない(補題1)
- $k=p^3+p^2+1$
$a=p^2+2p+1$より$a\leq 2024,p<45$
よって$p=3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43$の13組
- $k=p^4-p^3-p^2-1$
$a=p^4-2p^3-p^2+2p-1$より$a\leq 2024,p\leq 7$
よって$p=3,5,7$の3組
合わせて16組
非負整数に対して定義され整数値をとる関数$f$が，任意の非負整数$m,n$に対して
$f(m+n)^2=f(m|f(n)|)+f(n^2)$
をみたしているとき，整数の組$(f(0),f(1),\cdots ,f(2024)$としてありえるものはいくつあるか．
$P(x,y)$で条件式への$m=x,n=y$の代入を表す．
$P(0,0)$より$f(0)^2=2f(0)$だから$f(0)=0,2$
- $f(0)=0$
$P(m,0)$より$f(m)^2=2f(0)=0$
よって全部$0$。
- $f(0)=2$
$P(0,1)$より$f(1)^2=2+f(1),f(1)=2,-1$
$f(1)=-1$とすると$P(1,1)$より$f(2)^2=-2<0$となってしまうので，$f(1)=2$
$P(m,0)$と$P(m,1)$を比較して$f(m)^2=f(m+1)^2$
帰納的に$f(m)^2=4$
あとは$4=f(2m)+f(n^2)$より$f(2m)=f(n^2)=2$だから
$m$が奇数かつ平方数でないときに$f(m)$が$2$か$-2$かを自由に決めればいいので$2^{990}$通り
したがって$2^{990}+1$個
あとがき
4,5,7,8,9,10が好き。
9はBCとADの交点とってAFとBCの交点とって角の二等分線と方べきで解きました。