MZVで遊んでいたらめっちゃすごい式を見つけたかもしれない。

これは$\{c_{n}\}_{n\in\mathbb{N}\cup\{0\}}$が超幾何項なので$n$に関するある有理関数$t_{n}\in\mathbb{C}(n)$が存在して
\begin{equation} c_{n+1}=t_{n}c_{n} \end{equation}
が成り立つのだから、$n$に関するある多項式$f(n),g(n)\in\mathbb{K}[n]$が存在して$t_{n}=\frac{f(n)}{g(n)}$が成り立つ。
$f(n)、g(n)$それぞれの最大次数の係数を$a,b$、根を重複も込めて$-a_{1},...,-a_{k};-b_{1},...,-b_{l}\in\mathbb{C}$とすると
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} f(n)=a(a_{1}+n)\cdots(a_{k}+n)\\ g(n)=b(b_{1}+n)\cdots(b_{l}+n) \end{array} \right. \end{eqnarray}
が成り立つので$x=\frac{a}{b}$として
\begin{equation} t_{n}=\frac{(a_{1}+n)\cdots(a_{k}+n)}{(b_{1}+n)\cdots(b_{l}+n)}x \end{equation}
を得る。
後は計算すれば所要の結論が示される。

[1]まず
\begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}=A{}_{k+1}F_{l}(a_{1},...,a_{k},1;b_{1},...,b_{l}|x) \end{equation}
に関しては簡単なので省略する。
[2]収束半径$R$についてはCauchy-Hadamardの定理より次の様に計算すればいい。
\begin{eqnarray} R&=&\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{(b_{1}+n)(b_{2}+n)\cdots(b_{l}+n)}{(a_{1}+n)(a_{2}+n)\cdots(a_{k}+n)}|\\ &=&\left\{\begin{array}{l}0\quad(k\gt l)\\ 1\quad(k=l)\\ \infty\quad(k\lt l)\end{array}\right. \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \sum_{(i,j)\in D}d_{ij}Z(\vb*{k}_{\downarrow^{i}},\vb*{l}_{\rightarrow\downarrow^{j-1}})=Z(\vb*{k},\vb*{l})&=&\sum_{\vb*{n}\in U_{1}(a)^{\leq},\vb*{m}\in U_{0}(b)^{\leq}}\frac{1}{(b_{1})_{h(\vb*{n})}(b_{2})_{h(\vb*{n})}\cdots (b_{l})_{h(\vb*{n})}\vb*{n}^{k}(\vb*{m}+b_{1})^{\vb*{l}}(\vb*{m}+b_{2})^{\vb*{l}}\cdots (\vb*{m}+b_{l})^{\vb*{l}}}\sum_{liz(\vb*{m})\leq e(\vb*{m})}\frac{d_{00}+\cdots+d_{KL}e(\vb*{n})^{K}\{(b_{1}+e(\vb*{m}))(b_{2}+e(\vb*{m}))\cdots(b_{l}+e(\vb*{m}))\}^{L}}{(e(\vb*{m})+b_{1})(e(\vb*{m})+b_{2})\cdots(e(\vb*{m})+b_{l})}C(e(\vb*{n}),e(\vb*{m}))\\ &=&Z(\vb*{k}, \vb*{l}) \end{eqnarray}

$\lambda_{n}=\sup\{{}^{n}\sqrt{|a_{n|}},{}^{n+1}\sqrt{|a_{n+1|}},...\}$とおくすると
\begin{equation} |\sum_{k=0}^{N}a_{k}x^{k}|\leq\sum_{k=0}^{n_{0}-1}|a_{k}||x|^{k}+\sum_{k=n_{0}}^{N}(\lambda_{n}|x|)^{k} \end{equation}
$\lambda_{n}$の極限$\lambda$が存在するとすると$0\lt\forall\epsilon:\exists n_{0}\in\mathbb{N}\ s.t.\ n_{0}\leq\forall n:\lambda\leq\lambda_{n}\lt\lambda+\epsilon$が成り立つので
\begin{eqnarray} \sum_{k=n_{0}}^{N}(\lambda_{n}|x|)^{k}&\lt&\sum_{k=n_{0}}^{N}\{(\lambda+\epsilon)|x|\}^{k}\\ &=&(\lambda+\epsilon)^{n_{0}}|x|\frac{1-\{(\lambda+\epsilon)|x|\}^{N-n_{0}+1}}{1-(\lambda+\epsilon)|x|} \end{eqnarray}
を得る。ゆえに$(\lambda+\epsilon)|x|\lt 1$を満たすならば$N\rightarrow\infty$として
\begin{equation} \sum_{k=n_{0}}^{\infty}(\lambda_{n}|x|)^{k}\lt\frac{(\lambda+\epsilon)^{n_{0}}|x|}{1-(\lambda+\epsilon)|x|}\lt+\infty \end{equation}
なる不等式が成り立つ。
この不等式から直ちに所要の不等式を$x$が満たすなら絶対収束する事が分かる。
\begin{equation} |x|\lt\frac{1}{\lambda+\epsilon}\overset{\epsilon\rightarrow 0}\rightarrow\frac{1}{\lambda} \end{equation}

Cauchy-Hadamardの定理の証明において出てきた記号を踏襲する。
極限の定義より、$0\lt\forall\epsilon:\exists n_{0}\in\mathbb{N}\ s.t.\ n_{0}\leq \forall n\in\mathbb{N}:\lambda-\epsilon\lt\lambda_{n}\lt\lambda+\epsilon$が成り立つので
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda-\epsilon\lt\lambda_{n}={}^{n}\sqrt{|a_{n}|}\lt\lambda+\epsilon\\ \lambda-\epsilon\lt\lambda_{n+1}={}^{n+1}\sqrt{|a_{n+1}|}\lt\lambda+\epsilon\\ (\lambda-\epsilon)(\frac{\lambda-\epsilon}{\lambda+\epsilon})^{n}\lt |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|\lt(\lambda+\epsilon)(\frac{\lambda+\epsilon}{\lambda-\epsilon})^{n} \end{array} \right. \end{eqnarray}
ゆえに挟み撃ちの原理より証明完了。