tan(π/7)の厳密値を求めよう！
こんにちは。今回は珍しく積分とは関係のない話です。実は今回の問題は一年弱悩んでいたもので、ついさっき(2026/3/8)解けたので、これは記事にするしかねえだろと記事にしました。では楽しんでいってください。
1.解法の説明
2.$\tan(7x)$の導出&最小多項式
3.六次方程式の求解
4.解の判別
5.締め
解法の説明
加法定理などから直接求めるのは至難の業なので、他の方法を取ります。それが、「$\displaystyle\tan\frac{\pi}{7}$を解として持つ方程式を解く」です。実はその方程式は$\displaystyle\tan\frac{\pi}{7}$の最小多項式とも言ったりします。この最小多項式を導出して解くのがまず第一段階。第二段階は出てきた解の大小を判別することです。実は第二段階は第一段階よりも時間がかかりました(泣)これらを踏まえて、実際に求めていきましょう。
$\tan(7x)$の導出&最小多項式
今回の計算で一番重たいのはここです。$7$倍角の公式の導出。やり方はいろいろありますが、$3x+4x$でやることにします。
\begin{align*}
\tan(x+y)=\frac{\tan{x}+\tan{y}}{1-\tan{x}\tan{y}}
\end{align*}
を用いると、
\begin{align*}
\tan(2x)=\frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}
\end{align*}
これを利用すると、
\begin{align*}
\tan(3x)&=\tan(x+2x)\\
&=\frac{\tan{x}+\tan(2x)}{1-\tan{x}\tan(2x)}\\
&=\frac{\tan{x}+\frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}}{1-\frac{2\tan^2{x}}{1-\tan^2{x}}}\\
&=\frac{3\tan{x}-\tan^3{x}}{1-\tan^2{x}}\frac{1-\tan^2{x}}{1-3\tan^2{x}}\\
&=\frac{3\tan{x}-\tan^3{x}}{1-3\tan^2{x}}\\
\\
\tan(4x)&=\tan(2\cdot2x)\\
&=\frac{2\tan(2x)}{1-\tan^2(2x)}\\
&=\frac{\frac{4\tan{x}}{1-\tan^2{x}}}{1-\frac{4\tan^2{x}}{1-2\tan^2{x}+\tan^4{x}}}\\
&=\frac{4\tan{x}}{1-\tan^2{x}}\frac{1-2\tan^2{x}+\tan^4{x}}{1-6\tan^2{x}+\tan^4{x}}\\
&=\frac{4\tan{x}-4\tan^3{x}}{1-6\tan^2{x}+\tan^4{x}}
\end{align*}
これらを加法定理で合成すると
\begin{align*}
\tan(7x)&=\tan(3x+4x)\\
&=\frac{\frac{3\tan{x}-\tan^3{x}}{1-3\tan^2{x}}+\frac{4\tan{x}-4\tan^3{x}}{1-6\tan^2{x}+\tan^4{x}}}{1-\frac{3\tan{x}-\tan^3{x}}{1-3\tan^2{x}}\frac{4\tan{x}-4\tan^3{x}}{1-6\tan^2{x}+\tan^4{x}}}
\end{align*}
頑張って計算すると、
\begin{align*}
\tan(7x)&=\frac{7\tan{x}-35\tan^3{x}+21\tan^5{x}-\tan^7{x}}{1-21\tan^2{x}+32\tan^4{x}-7\tan^6{x}}
\end{align*}
最後におぞましい分数が出てきましたね。これの計算があほほどめんどくさいです。通分とか頑張ってください。
次です。この導出した$\displaystyle \tan(7x)$の$x$に$\displaystyle\frac{\pi}{7}$を代入します。すると、
\begin{align*}
\tan{\pi}&=\frac{7\tan\frac{\pi}{7}-35\tan^3\frac{\pi}{7}+21\tan^5\frac{\pi}{7}-\tan^7\frac{\pi}{7}}{1-21\tan^2\frac{\pi}{7}+32\tan^4\frac{\pi}{7}-7\tan^6\frac{\pi}{7}}\\
\end{align*}
$\tan{\pi}$は$0$のため、分母を払うと
\begin{align*}
\tan^7\frac{\pi}{7}-21\tan^5\frac{\pi}{7}+35\tan^3\frac{\pi}{7}-7\tan\frac{\pi}{7}=0
\end{align*}
ここで、$\displaystyle{\tan\frac{\pi}{7}=u}$とすると、
\begin{align*}
u^7-21u^5+35u^3-7u&=0\\
u(u^6-21u^4+35u^2-7)&=0
\end{align*}
$u\ne0$のため、ほしかった最小多項式は
\begin{align*}
u^6-21u^4+35u^2-7=0
\end{align*}
とわかる。
六次方程式の求解
一般の六次方程式は常に代数的な求解が可能なわけではありませんが、今回は可能です。最小多項式に$u^2=x$という置き換えをすることで、
\begin{align*}
x^3-21x^2+35x-7=0
\end{align*}
という三次方程式を得ることができます。これをカルダノの方法を用いて解いていきます。
\begin{align*}
x^3-21x^2+35x-7=0
\end{align*}
について、$x=y+7$と変数変換すると
\begin{align*}
(y+7)^3-21(y+7)^2+35(y+7)-7&=0\\
y^3-112y-448&=0
\end{align*}
次に、$y=u+v$と置くと、
\begin{align*}
(u+v)^3-112(u+v)-448&=0\\
u^3+v^3+3uv(u+v)-112(u+v)-448&=0\\
(u^3+v^3-448)+(u+v)(3uv-112)&=0
\end{align*}
よって、次の連立方程式が成り立つ。
\begin{align*}
\begin{cases}
u^3+v^3-448=0\\
3uv-112=0
\end{cases}\quad\rightarrow\begin{cases}
u^3+v^3=448\\
u^3v^3=\frac{112^3}{27}
\end{cases}
\end{align*}
$u^3,v^3$は解と係数の関係により、次の二次方程式の解となる。
\begin{align*}
x^2-448w+\frac{112^3}{27}=0
\end{align*}
これを解くと、
\begin{align*}
w&=224\left(1\pm\frac{i}{3\sqrt{3}}\right)\\
&=\frac{224}{9}\left(9\pm\sqrt{3}i\right)
\end{align*}
よって、$u,v$は$1$の原始三乗根$\omega$を用いて次の様に現される。
\begin{align*}
u&=2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9+\sqrt{3}i}\:,\:2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9+\sqrt{3}i}\omega\:,\:2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9+\sqrt{3}i}\omega^2\\
v&=2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9-\sqrt{3}i}\:,\:2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9-\sqrt{3}i}\omega\:,\:2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9-\sqrt{3}i}\omega^2
\end{align*}
思い出してみると、$y=u+v$と置いていたため、これらの中から適切な組みを選ぶ必要がある。しかし、$uv$は実数であることが連立方程式の二つ目の式よりわかるため、$y$は次の様に現される。
\begin{align*}
y&=2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9+\sqrt{3}i}+2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9-\sqrt{3}i}\:\:,\\
&\:\quad2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9+\sqrt{3}i}\omega+2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9-\sqrt{3}i}\omega^2\:\:,\\
&\:\quad2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9+\sqrt{3}i}\omega^2+2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9-\sqrt{3}i}\omega
\end{align*}
$x=y+7$だったため、
\begin{align*}
x_1&=7+2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9+\sqrt{3}i}+2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9-\sqrt{3}i}\\
x_2&=7+2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9+\sqrt{3}i}\omega+2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9-\sqrt{3}i}\omega^2\\
x_3&=7+2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9+\sqrt{3}i}\omega^2+2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9-\sqrt{3}i}\omega
\end{align*}
(後の便宜上$x$に添え字をつけておきます。)
もとの六次方程式の解はこれらそれぞれに平方根をかぶせたものになります。
解の判別
やっと三次方程式が解けたと思ったらもう次の試練が始まります。どうやって判別するか。
\begin{align*}
\sqrt[3]{9\pm\sqrt{3}i}=a\pm bi\quad(a,b\in\mathbb{R})
\end{align*}
と置いて、不等式評価です。
今から使う不等式をすべてここに出しておきましょう。
1.$a>b>0$
2.$2>a-\sqrt{3}b$
三乗根を$a\pm bi$とおいて式の両辺を三乗すると、
\begin{align*}
\sqrt[3]{9\pm\sqrt{3}i}&=a\pm bi\\
9\pm\sqrt{3}i&=(a^3-3ab^2)\pm i(3a^2b-b^3)
\end{align*}
このとき実部の係数に注目する。これは正のため、
\begin{align*}
a^3-3ab^2&>0\\
a^3&>3ab^2>ab^2\\
a^3&>ab^2
\end{align*}
$b\ne0$は自明なため$b^2$で両辺を割ると
\begin{align*}
\frac{a^3}{b^2}&>a\\
a\left(\frac{a}{b}\right)^2&>a
\end{align*}
よって、$a>b$がわかる。一方、虚部の係数に注目する。
\begin{align*}
3a^2b-b^3=\sqrt{3}
\end{align*}
ここで$b$を負と仮定して正の実数$c$を用いて$b=-c$と置く。すると、
\begin{align*}
3a^2b-b^3&=-3a^2c+c^3\\
&=-c(3a^2-c^2)
\end{align*}
$3a^2-c^2$は$a>b$より正であるので、$3a^2b-b^3$が負とわかる。しかし、$\sqrt{3}$は正のため、これは矛盾。よって$b>0$がわかり、先ほどの不等式と合わせると$a>b>0$が導けたことになる。
また、この事実から、$a^3$は$9$より大きくなければならないため$a>\sqrt[3]{9}>2$もわかる。
同様に、実部に注目する。
$a^3-3ab^2=9$
これについて、両辺を$a$で割り、
\begin{align*}
a^2-3b^2=\frac{9}{a}
\end{align*}
ここで、$a>\sqrt[3]{9}$を用いると
\begin{align*}
a^2-3b^2>3
\end{align*}
因数分解すると、
\begin{align*}
\left(a+\sqrt{3}b\right)\left(a-\sqrt{3}b\right)>3
\end{align*}
これが$3$より大きいため、片方が$\sqrt{3}$より大きく他方がそれより小さいのどちらかである。ここで、$a>b>0$のためもちろん$a+\sqrt{3}b>a-\sqrt{3}b$がいえ、すくなくとも$a-\sqrt{3}b<\sqrt{3}$だとわかる。よって、$a-\sqrt{3}b<2$が導かれた。
じつはこれらの不等式の証明にてこずりました。最近思い出して、証明にかかったら丸二日くらい手のひらで転がされした。その話は置いておいて、これらを用いて解を判別しましょう。どのような解が不適なのかを確認しておきましょう。
$\displaystyle0<\tan\frac{\pi}{7}<1$より、$0< x<1$であること。
これだけです。また、使う性質は先ほど証明した二つ。
\begin{align*}
&\sqrt[3]{9\pm\sqrt{3}i}=a\pm bi\quad(a,b\in\mathbb{R})\\
&a>b>0\:,\:a-\sqrt{3}b<2
\end{align*}
ではやっていきましょう。
\begin{align*}
x_1&=7+2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9+\sqrt{3}i}+2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9-\sqrt{3}i}\\
&=7+2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\left(a+bi\right)+2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\left(a-bi\right)\\
&=7+4\sqrt[3]{\frac{28}{9}}a
\end{align*}
ここで、$a>2$を思い出すと、これは大きすぎるため不適。
\begin{align*}
x_2&=7+2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9+\sqrt{3}i}\omega+2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9-\sqrt{3}i}\omega^2\\
&=7+\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\left(-1+\sqrt{3}i\right)\sqrt[3]{9+\sqrt{3}i}-\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\left(1+\sqrt{3}i\right)\sqrt[3]{9-\sqrt{3}i}\\
&=7+\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\left(-1+\sqrt{3}i\right)(a+bi)-\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\left(1+\sqrt{3}i\right)(a-bi)\\
&=7-2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\left(a+\sqrt{3}b\right)
\end{align*}
じつは、$x_2$と$x_3$の2択に持ち込んだら、消去法です。$x_3$を潰します。ので、$x_2$はこれで放置。
\begin{align*}
x_3&=7+2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9+\sqrt{3}i}\omega^2+2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\sqrt[3]{9-\sqrt{3}i}\omega\\
&=7-\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\left(1+\sqrt{3}i\right)\sqrt[3]{9+\sqrt{3}i}+\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\left(-1+\sqrt{3}i\right)\sqrt[3]{9-\sqrt{3}i}\\
&=7-2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\left(a-\sqrt{3}b\right)
\end{align*}
ここで、$a-\sqrt{3}b<2$より、$\displaystyle2\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\left(a-\sqrt{3}b\right)$が$6$未満であることがわかるため、$x_3>1$。よって、$x_3$は不適と分かり、消去法により適切な解は$x_2$である。
締め
忘れているかもしれませんが、$\displaystyle u=\tan\frac{\pi}{7}$、$u^2=x$と置き換えていました。これを踏まえると、
\begin{align*}
\tan\frac{\pi}{7}=\pm\sqrt{x_2}
\end{align*}
ここで、$\displaystyle\tan\frac{\pi}{7}>0$のため、マイナスの方は不適。よって
\begin{align*}
\tan\frac{\pi}{7}=\sqrt{x_2}
\end{align*}
つまり、
\begin{align*}
\tan\frac{\pi}{7}=\sqrt{7+\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\left(-1+\sqrt{3}i\right)\sqrt[3]{9+\sqrt{3}i}-\sqrt[3]{\frac{28}{9}}\left(1+\sqrt{3}i\right)\sqrt[3]{9-\sqrt{3}i}\:\:}
\end{align*}
やったね！
お疲れさまでした！手計算のみで$\displaystyle\tan\frac{\pi}{7}$を求めることが出来ましたね。平方根の中身の三乗根は外せないの？と思うかもしれませんが、ゲロくそ汚くなるのでこのままのほうがいいです。不等式の証明が個人的には一番難しかったです()$\displaystyle\tan\frac{\pi}{7}$なんて使う機会ないので求めるメリットは見当たりませんが、無駄なことをするのが好きな人間なので今とても満たされてます。ほな、さいなら！
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