微分　問題④

はじめに

こんにちは、ベーコンです。
今回で微分はとりあえず終わりにします。
ぜひ最後まで読んでいってください。

問題

任意の自然数nに対し、以下の(1),(2)を示せ。

$(1) x > 0 のとき、 e^{x} > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ・・・ + \frac{x^{n}}{n!}$
$(2) lim_{x \to \infty} \frac{x^{n}}{e^{x}} = 0$

考えたい人用空白
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解説

(1)数学的帰納法で示します。
$(ⅰ) n = 1 の時$
$e^{x} - 1 - \frac{x}{1!} > 0 を証明する$
$f (x) = e^{x} - 1 - \frac{x}{1!} とすると、$
$f^{'} (x) = e^{x} - 1$
$x > 0 のとき e^{x} > 1 であるから、 f^{'} (x) > 0$
$x > 0 で f (x) は単調増加であり、 f (0) = 0 であるから、 f (x) > 0$
$(ⅱ) x > 0 のとき、 e^{x} > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ・・・ + \frac{x^{n}}{n!}$
が成り立つと仮定し、
$e^{x} > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ・・・ + \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!} を証明する$
$g (x) = e^{x} - (1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ・・・ + \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!}) とする$
$g^{'} (x) = e^{x} - (1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ・・・ + \frac{x^{n}}{n!})$
$仮定より g^{'} (x) > 0 であり、 g (0) = 0 であるから、 x > 0 で g (x) > 0$
(ⅰ)(ⅱ)より、証明完了。

(2)
(1)より、 $0 < \frac{x^{n}}{e^{x}} < \frac{x^{n}}{\sum_{k = 0}^{n + 1} \frac{x^{k}}{k!}}$
$lim_{x \to \infty} \frac{x^{n}}{\sum_{k = 0}^{n + 1} \frac{x^{k}}{k!}} = lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sum_{k = 0}^{n + 1} \frac{x^{k - n}}{k!}} = 0$
はさみうちの原理より、
$lim_{x \to \infty} \frac{x^{n}}{e^{x}} = 0$