微分　問題④

はじめに

こんにちは、ベーコンです。
今回で微分はとりあえず終わりにします。
ぜひ最後まで読んでいってください。

問題

任意の自然数nに対し、以下の(1),(2)を示せ。

$$(1)x>0のとき、e^x>1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+・・・+\frac{x^n}{n!}$$
$$(2)\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{e^x}=0$$

考えたい人用空白
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓

解説

(1)数学的帰納法で示します。
$(ⅰ)n=1の時$
$$\quad e^x-1-\frac{x}{1!}>0を証明する$$
$$\quad f(x)=e^x-1-\frac{x}{1!}とすると、$$
$$\quad f'(x)=e^x-1$$
$\quad x>0のときe^x>1であるから、f'(x)>0$
$\quad x>0でf(x)は単調増加であり、f(0)=0であるから、f(x)>0$
$$(ⅱ)x>0のとき、e^x>1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+・・・+\frac{x^n}{n!}$$
$\quad$が成り立つと仮定し、
$$\quad e^x>1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+・・・+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}を証明する$$
$$\quad g(x)=e^x-(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+・・・+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!})とする$$
$$\quad g'(x)=e^x-(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+・・・+\frac{x^n}{n!})$$
$仮定よりg'(x)>0であり、g(0)=0であるから、x>0でg(x)>0$
(ⅰ)(ⅱ)より、証明完了。

(2)
(1)より、$$0<\frac{x^n}{e^x}<\frac{x^n}{\sum_{k=0}^{n+1}\frac{x^k}{k!}}$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{\sum_{k=0}^{n+1}\frac{x^k}{k!}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sum_{k=0}^{n+1}\frac{x^{k-n}}{k!}}=0$$
はさみうちの原理より、
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{e^x}=0$$

マクローリン展開が背景の良問だと思います。