2025問題集

適当に作った2025問題を載せておきます.すべて解けるはずです.あとはこれからできた問題をどんどん編集して載せる形にします.

毎回断るのは面倒なので,これ以降の問題で使う記号は先にまとめておきます.　

以降の問題で使う記号のまとめ

$n$:正の整数
$d(n):n$の正の約数の個数
$\varphi(n):n$と互いに素な1以上$n$以下の整数の個数

平方数$n$であって, 相異なる素数$p,q$を用いて,

$\displaystyle \dfrac{\varphi(n)}{d(n)}=p^qq^p$

と表せるもののうち最小のものを求めてください.

平方数$n$であって,$p< q< r$なる素数$p,q,r$を用いて

$3d(n)\varphi(n)=p^qq^rr^p$

と表せるようなものをすべて求めてください.

奇数の平方数$n$であって,素数$p$を用いて

$\displaystyle \dfrac{d(n)\varphi(n)}{n}=p^{p+1}$

と表せるようなものをすべて求めてください.

九大作問サークルの創設が(2024年) 2月5日であることをふまえずとも, 以下の問いに答えてください.
平方数$N$と正の偶数$m$,および素数$p$の組$(N,m,p)$であって, ある素数$q,r$を用いて以下の等式が成り立つようなものをすべて求めてください.

$N=p^mr^q=q\cdot 10^p+r^q$

計算機推奨?

平方数$N$であって, 以下を満たすようなものをすべて求めてください.

$ \frac{d(d(N))}{d(N)}=\frac{\varphi(\varphi(N))}{\varphi(N)}$

投稿日：5月20日

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