円にできる影の長さが一定になる光源の軌跡

問題：x軸の上に$x^2+(y-1{)}^2=1$の円がある.点光源$L$から発せられた光が$x$軸上に作る影の長さが一定となるような点光源$L$の軌跡は何か?

画像の名前

解答:双曲線になる.
図のように接点$(p,q),(r,s)$,$x$軸上にできる影の両端$(a,0),(b,0)$を取る.

$(p,q)$を通る接線の方程式は$px+(q-1)(y-1)=1$である.これが点$(a,0)$を通るので
$pa+(q-1)(-1)=1$
従って
$q=pa$.
またこの直線上に点$(p,q)$があるので
$p^2+(q-1{)}^2=1$
$q=pa$と合わせて$p\ne 0$であることを使うと
$p=\frac{2a}{a^2+1}$

同様に
$s=rb,r=\frac{2b}{b^2+1}$が分かる.

点光源$L$の座標を$(x_0,y_0)$とするとこれは二つの直線
$px+(q-1)(y-1)=1,rx+(s-1)(y-1)=1$の交点なので
$x_0=\frac{s-q}{qr-ps+p-r}$
$y_0=\frac{qr-ps}{sp-qr+r-p}$
となる.

これに$q=pa,s=rb$を代入し$q,s$を消去し,さらに$p=\frac{2a}{a^2+1},r=\frac{2b}{b^2+1}$を使うと
$x_0=\frac{a+b}{ab+1}$
$y_0=\frac{2ab}{ab+1}$
となる.

$(a,0),(b,0)$の中点のx座標を$t$,影の長さを$2l_0$とすると$l_0>1$で
$a=t-l_0,b=t+l_0$となる.これを上の$y_0$の式に代入すると
$y_0=2-\frac{2}{ab+1}$
整理して
$t^2=l_0^2-1+\frac{2}{2-y_0}$が得られる.また
$\frac{2}{ab+1}=2-y_0$であり,$x^2=\frac{4t^2}{(ab+1{)}^2}$であるから
$x^2=(2-y_0{)}^2\{l_0^2-1+\frac{2}{2-y_0}\}$
すなわち
$x^2=(l_0^2-1)(y_0-2{)}^2-2(y_0-2)$
となりこれは平方完成をすることで双曲線の方程式となる.(解答終わり)

座標を使わず,初等幾何的に解けたという方はコメントをお願いします.