p進付値と特殊な形の素数について

$x$$=$$k_1p^{v_p(x)} $,$y$$=$$k_2 p^{v_p(y)} $と表示し、$n= 2^{v_2(p-1)} $とおく。($k_1$,$k_2$は$p$と互いに素)
また、対称性より$v_p(x)$$\geq $$v_p(y)$の場合のみを証明すればよい。
[1] $v_p(x)$$\gt$$v_p(y)$のとき
$v_p( x^{n}+ y^{n})$
$=$$nv_p(y)+v_p((k_1p^{v_p(x)-v_p(y)})^n+k_2^n)$
$(k_1p^{v_p(x)-v_p(y)})^n+k_2^n$ $ \equiv $$k_2^n$$ \not\equiv $$0$$ \pmod{p} $であるから$v_p((k_1p^{v_p(x)-v_p(y)})^n+k_2^n)$$=$$0$
すなわち$v_p( x^{n}+ y^{n})$=$nv_p(y)$
[2]$v_p(x)=v_p(y)$のとき
$nv_p(y)$ $ \leq $$v_p(x^{n}+y^{n})$
$=$$nv_p(y)+v_p(k_1^{n}+k_2^{n})$
$ \leq $$nv_p(y)+v_p(k_1^{n}+k_2^{n})$$+$$v_p( \sum_{i=1}^{ \frac{p-1}{n}}(-1)^{i-1}k_1^{p-1-ni}k_2^{n(i-1)})$
$=$$nv_p(y)+v_p(k_1^{p-1}+k_2^{p-1})$
フェルマーの小定理より、$k_1^{p-1}+k_2^{p-1}$$ \equiv $$2$$ \not\equiv $$0$$ \pmod{p} $であるから
$v_p(k_1^{p-1}+k_2^{p-1})$$=$$0$
よって$v_p( x^{n}+ y^{n})$$=$$nv_p(y)$ 証明終

$x=k_1p^{v_p(x)},y=k_2p^{v_p(y)},z=k_3p^{v_p(z)}$と表示し、$n= \frac{p-1}{3} $とおく。($k_1,k_2,k_3$は$p$と互いに素)
また、対称性より$v_p(x) \geq v_p(y) \geq v_p(z)$の場合のみを証明すればよい。
$nv_p(z)$$\leq$$v_p(x^{n}+y^{n}+z^{n})$
$=$$nv_p(z)+v_p((k_1p^{v_p(x)-v_p(z)})^n+(k_2p^{v_p(y)-v_p(z)})^n+k_3^n)$
$\leq$$nv_p(z)+v_p((k_1p^{v_p(x)-v_p(z)})^n+(k_2p^{v_p(y)-v_p(z)})^n+k_3^n)$$+$$v_p((k_1p^{v_p(x)-v_p(z)})^{2n}+v_p(k_2p^{v_p(y)-v_p(z)})^{2n}+k_3^{2n}-(k_1p^{v_p(x)-v_p(z)}k_2p^{v_p(y)-v_p(z)})^n-(k_2p^{v_p(y)-v_p(z)}k_3)^n-(k_3k_1p^{v_p(x)-v_p(z)})^n)$
$=$$nv_p(z)+$$v_p((k_1p^{v_p(x)-v_p(z)})^{3n}+(k_2p^{v_p(y)-v_p(z)})^{3n}+k_3^{3n}-3(k_1p^{v_p(x)-v_p(z)}k_2p^{v_p(y)-v_p(z)}k_3)^n)$
[1] $v_p(y)>v_p(z)$のとき
フェルマーの小定理より$(k_1p^{v_p(x)-v_p(z)})^{3n}+(k_2p^{v_p(y)-v_p(z)})^{3n}+k_3^{3n}-3(k_1p^{v_p(x)-v_p(z)}k_2p^{v_p(y)-v_p(z)}k_3)^n$$\equiv$$k_3^{3n}$$\equiv$$1$$\not\equiv$$0$$\pmod{p}$
[2] $v_p(x)>v_p(y)=v_p(z)$のとき
フェルマーの小定理より$(k_1p^{v_p(x)-v_p(z)})^{3n}+(k_2p^{v_p(y)-v_p(z)})^{3n}+k_3^{3n}-3(k_1p^{v_p(x)-v_p(z)}k_2p^{v_p(y)-v_p(z)}k_3)^n$$\equiv$$(k_2p^{v_p(y)-v_p(z)})^{3n}+k_3^{3n}$$\equiv$$2$$\not\equiv$$0$$\pmod{p}$
[3] $v_p(x)=v_p(y)=v_p(z)$のとき
$(k_1k_2k_3)^n\equiv(\frac{xyz}{p^{v_p(xyz)}} )^n\not\equiv1$$\pmod{p}$より$(k_1p^{v_p(x)-v_p(z)})^{3n}+(k_2p^{v_p(y)-v_p(z)})^{3n}+k_3^{3n}-3(k_1p^{v_p(x)-v_p(z)}k_2p^{v_p(y)-v_p(z)}k_3)^n$$\equiv$$3(1-(k_1k_2k_3)^n)$$\not\equiv$$0$ $\pmod{p}$
よって[1],[2],[3]の全てにおいて$(k_1p^{v_p(x)-v_p(z)})^{3n}+(k_2p^{v_p(y)-v_p(z)})^{3n}+k_3^{3n}-3(k_1p^{v_p(x)-v_p(z)}k_2p^{v_p(y)-v_p(z)}k_3)^n$$\not\equiv$$0$$\pmod{p}$なので
$v_p((k_1p^{v_p(x)-v_p(z)})^{3n}+(k_2p^{v_p(y)-v_p(z)})^{3n}+k_3^{3n}-3(k_1p^{v_p(x)-v_p(z)}k_2p^{v_p(y)-v_p(z)}k_3)^n)=0$
ゆえに、$v_p(x^{n}+y^{n}+z^{n})$$=$$nv_p(z)$ 証明終

①$2$を除く$v_2(p-1) \leq n$である素数$p$において、補題2より$v_p(x^{2^{v_2(p-1)}} + y^{2^{v_2(p-1)}}) $
$＝$$2^{v_2(p-1)} $$ \min_{}(v_p(x),v_p(y)) $が成り立つ。$x$と$y$は互いに素であるので$v_p(x)$と$v_p(y)$の少なくともどちらかは$0$であり$v_p(x^{2^{v_2(p-1)}} + y^{2^{v_2(p-1)}}) $$＝$$0$となる。
よって$ x^{2^{n}} + y^{2^{n}}$の素因数は$2$か$ 2^{n+1}k+1$型素数に限られる。
②$x$と$y$が互いに素な場合のみ証明すれば十分である。$ x^{2^{n}} + y^{2^{n}}$$\equiv$$1,2$$\not\equiv$$0$であるから$ x^{2^{n}} + y^{2^{n}}$は$2$を$2$を高々1つしか素因数に持たない。一方$ x^{2^{n}} + y^{2^{n}}$$\geq$$2^{2^{1}}+1^{2^{1}}=5$であるから、$2$以外の素因数すなわち$ 2^{n+1}k+1$型素数を持つ。証明終

$2^{n+1}k+1 $型素数は$2^{n}k+1 $型素数でもあるので、$2^{n+1}k+1 $型素数の無限性を証明すれば十分である。
$N $を正の整数とし、$p $を任意の$2^{N+1}k+1 $型素数とする。($2^{N+1}k+1 $型素数の存在については定理3から明らか。)正の整数$n $に対して、数列{$ a_n$}を$ a_1=$$ p$ $ $,$ a_{n+1} $$= $ ($\prod_{i=1}^{n}$$a_i $)$ ^ {2^{N}}+1 $として定めると、任意の相異なる2つの項は互いに素である。また補題2よりすべての項は$2^{N+1}k+1 $型素数を素因数に含むので、$2^{N+1}k+1 $型素数をいくらで多く生成でき、無限個あることがわかる。証明終

まず、$x^{2^{n}}+y^{2^{n}}$は明らかに奇数であり、$2$を素因数に持たないので、補題2より、$2^{n+1}k+1$型ではない素数は$x^{2^{n}}+y^{2^{n}}$を最大で偶数回割り切る。
また、補題5より$x^{2^{n}}+y^{2^{n}}$を最大で奇数回割り切るような素数$p$が存在し、それは$2^{n+1}k+1$型素数となる。証明終