$$\newcommand{BA}[0]{\begin{align*}}
\newcommand{BC}[0]{\begin{cases}}
\newcommand{BE}[0]{\begin{equation}}
\newcommand{bl}[0]{\boldsymbol}
\newcommand{BM}[0]{\begin{matrix}}
\newcommand{D}[0]{\displaystyle}
\newcommand{EA}[0]{\end{align*}}
\newcommand{EC}[0]{\end{cases}}
\newcommand{EE}[0]{\end{equation}}
\newcommand{EM}[0]{\end{matrix}}
\newcommand{h}[0]{\boldsymbol{h}}
\newcommand{k}[0]{\boldsymbol{k}}
\newcommand{L}[0]{\left}
\newcommand{l}[0]{\boldsymbol{l}}
\newcommand{m}[0]{\boldsymbol{m}}
\newcommand{n}[0]{\boldsymbol{n}}
\newcommand{R}[0]{\right}
\newcommand{vep}[0]{\varepsilon}
$$
$\hspace{5pt}$$\D\beta_z=\frac{\Gamma\!\L(\frac{1}{2}+z\R)}{\Gamma\!\L(\frac{1}{2}\R)\Gamma(1+z)},\quad A=\sum_{n=0}^\infty \beta_n^3=\frac{\pi}{\Gamma\!\L(\frac{3}{4}\R)^4}$として、数列$\alpha_n$を次式で定義します。
$\BA\D \alpha_n:=\sum_{m=0}^\infty (4m+2n+1)\beta_m^3\beta_{m+n}^3 \EA$
定理1.$0\le x<1$に対して
$\BA\D\\ \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{{(2n+1)^3\alpha_n\alpha_{n+1}}}\sum_{m=0}^{n}\alpha_m\beta_mx^{2m}=\frac{\pi}{2A}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}(4n-1)}{{(2n\beta_n)}^5}\sum_{m=0}^{n-1}(-1)^m(4m+1)\beta_m^5P_{2m}(x)\EA$
$\hspace{5pt}$以下、証明です。
$\hspace{5pt}$次の自己随伴四階微分作用素を用います：
$\BA\D {\cal D}y=(py'')''-(qy')'+xy,\qquad p=x(1-x^2)^2,\qquad q=5x(1-x^2) \EA$
$\hspace{5pt}$$\rm Legendre$の微分方程式と三項間漸化式を代入して整理すると、任意の整数$r\ge0$に対して
$\BA\D (2r+1){\cal D}P_r(x)=r^5P_{r-1}(x)+(r+1)^5P_{r+1}(x) \EA$
が成り立ちます。一方で、$\D y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n}$と展開できるとき、${\cal D}y$の$x^{2n-1}$の係数は
$\BA\D 4n(n+1)(2n+1)^3a_{n+1}-4n^2(8n^2+3)a_n+(2n-1)^4a_{n-1} \EA$
です。ここで、$u_{n,k}=(4k+2n+1)\beta_k^3\beta_n^{}\beta_{k+n}^3$とおくと
$\BA\D 4n(n+1)(2n+1)^3u_{n+1,k}-4n^2(8n^2+3)u_{n,k}+(2n-1)^4u_{n-1,k}=r_{n,k}-r_{n,k+1} \EA$
$\BA\D\\ r_{n,k}=\frac{(2n-1)k^3}{(k+n)^3}\big(24nk^2+4(12n^2-3n-1)k+(2n-1)(12n^2-1)\big)\beta_k^3\beta_n^{}\beta_{k+n}^3 \EA$
と書けます。$\rm Stirling$の公式から$r_{n,\infty}=0$なので、$k$について和をとることで、$a_n=\beta_n\alpha_n$は
$\BA\D 4n(n+1)(2n+1)^3a_{n+1}-4n^2(8n^2+3)a_n+(2n-1)^4a_{n-1}-0 \EA$
を満たし、$\D\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n}$は${\cal D}y=0$の解です。
$\hspace{5pt}$次に、
$\BA\D W_n:=\sum_{j=n}^\infty \frac{1}{\L(2j+1\R)^3\alpha_j\alpha_{j+1}},\qquad F(x):=\sum_{n=0}^\infty \beta_n\alpha_nW_nx^{2n} \EA$
とします。${\cal D}F$の$x^{2n-1}$の係数と$a_n$の漸化式に$W_n$を掛けたものの差をとり整理すると$0$になります。すなわち${\cal D}F=0$です。
$\BA\D I_m:=\int_0^1 F(x)P_{2m}(x)\,dx \EA$
とおきます。自己随伴形から
$\BA\D u{\cal D}v-v{\cal D}u=\big(u(pv'')'-u'pv''-v(pu'')'+v'pu''-q(uv'-vu')\big)' \EA$
です。ここで、$u=F(x),\,v=P_{2m+1}(x)$とします。境界項は、$x=0$では$0$、$x=1$では$\D\frac{\pi}{2A}$に収束します。したがって
$\BA\D (2m-1)^5I_{m-1}+(2m)^5I_{m}=\frac{\pi}{2A}(4m-1) \EA$
です。これを整理して$(1)$式を得ます。
また、$v=P_{2m}(x)$とした場合は、$0< x<1$に対して
$\BA\D F(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}(4n-1)}{\L(2n\beta_n\R)^5}P_{2n-1}(x)\L(\frac{\pi}{2A}\sum_{m=0}^{n-1}(-1)^m(4m+1)\beta_m^5+\sum_{m=0}^{n-1}(4m+1)\L(\frac{1}{\alpha_0}\L(\frac{\alpha'_0}{2}F(0)-1\R)+\frac{(4m+1)^2+1}{4}F(0)\R)\beta_m^6\R) \EA$
を得ることになります。ただし、
$\BA\D \alpha'_0:=\sum_{n=0}^\infty \L(\frac{32}{\pi^3}-\frac{1}{2}\L((4n+1)^3+(4n+1)\R)\beta_n^6\R)-\frac{8}{\pi^3} \EA$
としています。
定理2.$0< x<1$に対して
$\BA\D\\ F(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}(4n-1)}{\L(2n\beta_n\R)^5}P_{2n-1}(x)\L(\frac{\pi}{2A}\sum_{m=0}^{n-1}(-1)^m(4m+1)\beta_m^5+\sum_{m=0}^{n-1}(4m+1)\L(\frac{1}{\alpha_0}\L(\frac{\alpha'_0}{2}F(0)-1\R)+\frac{(4m+1)^2+1}{4}F(0)\R)\beta_m^6\R)\EA$
