文献あり

ユークリッドの方法のオイラー形式

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お久しぶりです！
超簡単だけど、面白い連分数を見つけるときに使える定理です。
一瞬で読み終えることができますので、良ければ見て行ってください！
書いてあることは、参考文献[1]のp.197に書いてある事とほぼ同じです。

定理名

定理
$\forall {a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}} \subset C - {0} : \exists {x_{n}} s . t . c_{n} x_{n + 2} = b_{n} x_{n + 1} + a_{n - 1} x_{n} (x_{0} = c_{0}, x_{1} = b_{0})$ が成り立つとすると、次式が成立する。
$\frac{c_{n} x_{n + 2}}{x_{n + 1}} = b_{n} + \frac{c_{n - 1} a_{n - 1} |}{| b_{n - 1}} + \frac{c_{n - 2} a_{n - 2} |}{| b_{n - 2}} + \dots + \frac{c_{1} a_{1}}{b_{1}} + \frac{c_{0} a_{0} |}{| a_{0}}$

$\begin{array}{rcl} c_{n} x_{n + 2} & = & b_{n} x_{n + 1} + a_{n - 1} x_{n} \\ \frac{c_{n} x_{n + 2}}{x_{n + 1}} & = & b_{n} + a_{n - 1} \frac{x_{n}}{x_{n + 1}} \\ = & b_{n} + a_{n - 1} \frac{1}{\frac{x_{n + 1}}{x_{n}}} \\ = & b_{n} + a_{n - 1} \frac{c_{n - 1}}{\frac{c_{n - 1} x_{n + 1}}{x_{n}}} \\ = & b_{n} + \frac{c_{n - 1} a_{n - 1} |}{| b_{n - 1}} + \frac{c_{n - 2} a_{n - 2} |}{| b_{n - 2}} + \dots + \frac{c_{1} a_{1}}{b_{1}} + \frac{a_{0} x_{0} |}{| x_{1}} \\ = & b_{n} + \frac{c_{n - 1} a_{n - 1} |}{| b_{n - 1}} + \frac{c_{n - 2} a_{n - 2} |}{| b_{n - 2}} + \dots + \frac{c_{1} a_{1}}{b_{1}} + \frac{c_{0} a_{0} |}{| a_{0}} \end{array}$

$\forall {a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}} \subset C - {0} : \exists {x_{n}} s . t . c_{n} x_{n + 2} = b_{n} x_{n + 1} + a_{n - 1} x_{n} (x_{0} = c_{0}, x_{1} = b_{0})$ が成り立つとする。このとき、数列 $A_{n} \subset C$ を次のように定める。
$A_{n} = \frac{b_{n} + \frac{c_{n - 1} a_{n - 1} |}{| b_{n - 1}} + \frac{c_{n - 2} a_{n - 2} |}{| b_{n - 2}} + \dots + \frac{c_{1} a_{1}}{b_{1}} + \frac{c_{0} a_{0} |}{| a_{0}}}{c_{n}}$
すると次式が成り立つ。
$\begin{array}{rcl} x_{n + 2} & = & A_{n} x_{n + 1} \\ = & A_{n} A_{n - 1} \dots A_{0} x_{1} \end{array}$