ユークリッドの方法のオイラー形式
お久しぶりです！
超簡単だけど、面白い連分数を見つけるときに使える定理です。
一瞬で読み終えることができますので、良ければ見て行ってください！
書いてあることは、参考文献[1]のp.197に書いてある事とほぼ同じです。
定理
$\forall \{a_{n}\},\{b_{n}\},\{c_{n}\}\subset \mathbb{C}-\{0\}:\exists \{x_{n}\} s.t. c_{n}x_{n + 2} = b_{n}x_{n + 1} + a_{n - 1}x_{n} \qquad (x_{0} = c_{0}, x_{1} = b_{0})$が成り立つとすると、次式が成立する。
\begin{equation}
\frac{c_{n}x_{n + 2}}{x_{n + 1}} = b_{n} + \frac{c_{n - 1}a_{n - 1}|}{|b_{n - 1}} + \frac{c_{n - 2}a_{n - 2}|}{|b_{n - 2}} + \cdots + \frac{c_{1}a_{1}}{b_{1}} +\frac{c_{0}a_{0}|}{|a_{0}}
\end{equation}
\begin{eqnarray} c_{n}x_{n + 2} &=& b_{n}x_{n + 1} + a_{n - 1}x_{n} \\ \frac{c_{n}x_{n + 2}}{x_{n + 1}} &=& b_{n} + a_{n - 1}\frac{x_{n}}{x_{n + 1}}\\ &=& b_{n} + a_{n - 1}\frac{1}{\frac{x_{n + 1}}{x_{n}}}\\ &=& b_{n} + a_{n - 1}\frac{c_{n - 1}}{\frac{c_{n - 1}x_{n + 1}}{x_{n}}}\\ &=& b_{n} + \frac{c_{n - 1}a_{n - 1}|}{|b_{n - 1}} + \frac{c_{n - 2}a_{n - 2}|}{|b_{n - 2}} + \cdots + \frac{c_{1}a_{1}}{b_{1}} +\frac{a_{0}x_{0}|}{|x_{1}}\\ &=& b_{n} + \frac{c_{n - 1}a_{n - 1}|}{|b_{n - 1}} + \frac{c_{n - 2}a_{n - 2}|}{|b_{n - 2}} + \cdots + \frac{c_{1}a_{1}}{b_{1}} +\frac{c_{0}a_{0}|}{|a_{0}} \end{eqnarray}
$\forall \{a_{n}\},\{b_{n}\},\{c_{n}\}\subset \mathbb{C}-\{0\}:\exists \{x_{n}\} s.t. c_{n}x_{n + 2} = b_{n}x_{n + 1} + a_{n - 1}x_{n} \qquad (x_{0} = c_{0}, x_{1} = b_{0})$が成り立つとする。このとき、数列$A_{n}\subset \mathbb{C}$を次のように定める。
\begin{equation}
A_{n} = \frac{b_{n} + \frac{c_{n - 1}a_{n - 1}|}{|b_{n - 1}} + \frac{c_{n - 2}a_{n - 2}|}{|b_{n - 2}} + \cdots + \frac{c_{1}a_{1}}{b_{1}} +\frac{c_{0}a_{0}|}{|a_{0}}}{c_{n}}
\end{equation}
すると次式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
x_{n + 2} &=& A_{n} x_{n + 1}\\
&=& A_{n} A_{n - 1} \cdots A_{0} x_{1}
\end{eqnarray}
定理1を使用するだけ。
