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中学数学解説
文献あり

ユークリッドの方法のオイラー形式

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お久しぶりです!
超簡単だけど、面白い連分数を見つけるときに使える定理です。
一瞬で読み終えることができますので、良ければ見て行ってください!
書いてあることは、参考文献[1]のp.197に書いてある事とほぼ同じです。

定理名

定理
$\forall \{a_{n}\},\{b_{n}\},\{c_{n}\}\subset \mathbb{C}-\{0\}:\exists \{x_{n}\} s.t. c_{n}x_{n + 2} = b_{n}x_{n + 1} + a_{n - 1}x_{n} \qquad (x_{0} = c_{0}, x_{1} = b_{0})$が成り立つとすると、次式が成立する。
\begin{equation} \frac{c_{n}x_{n + 2}}{x_{n + 1}} = b_{n} + \frac{c_{n - 1}a_{n - 1}|}{|b_{n - 1}} + \frac{c_{n - 2}a_{n - 2}|}{|b_{n - 2}} + \cdots + \frac{c_{1}a_{1}}{b_{1}} +\frac{c_{0}a_{0}|}{|a_{0}} \end{equation}

\begin{eqnarray} c_{n}x_{n + 2} &=& b_{n}x_{n + 1} + a_{n - 1}x_{n} \\ \frac{c_{n}x_{n + 2}}{x_{n + 1}} &=& b_{n} + a_{n - 1}\frac{x_{n}}{x_{n + 1}}\\ &=& b_{n} + a_{n - 1}\frac{1}{\frac{x_{n + 1}}{x_{n}}}\\ &=& b_{n} + a_{n - 1}\frac{c_{n - 1}}{\frac{c_{n - 1}x_{n + 1}}{x_{n}}}\\ &=& b_{n} + \frac{c_{n - 1}a_{n - 1}|}{|b_{n - 1}} + \frac{c_{n - 2}a_{n - 2}|}{|b_{n - 2}} + \cdots + \frac{c_{1}a_{1}}{b_{1}} +\frac{a_{0}x_{0}|}{|x_{1}}\\ &=& b_{n} + \frac{c_{n - 1}a_{n - 1}|}{|b_{n - 1}} + \frac{c_{n - 2}a_{n - 2}|}{|b_{n - 2}} + \cdots + \frac{c_{1}a_{1}}{b_{1}} +\frac{c_{0}a_{0}|}{|a_{0}} \end{eqnarray}

$\forall \{a_{n}\},\{b_{n}\},\{c_{n}\}\subset \mathbb{C}-\{0\}:\exists \{x_{n}\} s.t. c_{n}x_{n + 2} = b_{n}x_{n + 1} + a_{n - 1}x_{n} \qquad (x_{0} = c_{0}, x_{1} = b_{0})$が成り立つとする。このとき、数列$A_{n}\subset \mathbb{C}$を次のように定める。
\begin{equation} A_{n} = \frac{b_{n} + \frac{c_{n - 1}a_{n - 1}|}{|b_{n - 1}} + \frac{c_{n - 2}a_{n - 2}|}{|b_{n - 2}} + \cdots + \frac{c_{1}a_{1}}{b_{1}} +\frac{c_{0}a_{0}|}{|a_{0}}}{c_{n}} \end{equation}
すると次式が成り立つ。
\begin{eqnarray} x_{n + 2} &=& A_{n} x_{n + 1}\\ &=& A_{n} A_{n - 1} \cdots A_{0} x_{1} \end{eqnarray}

証明手法(任意)

定理1を使用するだけ。

参考文献

投稿日:20231029
OptHub AI Competition

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投稿者

ただ趣味で数学をやっている普通の人です。 特殊な知識もなくただ数学を楽しみたいenjoy勢です。正直間違った事も平気で書くかもしれません。 僕の書いている記事で間違いを発見した時は遠慮なくご指摘してくださると助かります。

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