奇数だけからなる{a,b}^nにおけるFMZV, SMZVが0になることの証明
奇数$a,b\geq 1$と$n\geq 1$に対し,
\begin{align}
\zeta_{\mathcal{A}}(\{a,b\}^n)=\zeta_{\mathcal{A}}^{\star}(\{a,b\}^n)=0
\end{align}
が成り立つ.
調和関係式から$\zeta^{\star}_{\mathcal{A}}(\{k\}^n)=0$となることと, Munetaの定理より,
\begin{align}
\zeta_{\mathcal{A}}^{\star}(\{a,b\}^n)&=\sum_{i=0}^n\zeta_{\mathcal{A}}(\{a,b\}^i)\zeta_{\mathcal{A}}(\{a+b\}^{n-i})\\
&=\zeta_{\mathcal{A}}(\{a,b\}^n)
\end{align}
一方, ここで, antipode関係式
\begin{align}
\sum_{i=0}^r(-1)^i\zeta_{\mathcal{A}}(k_1,\dots,k_i)\zeta_{\mathcal{A}}^{\star}(k_r,\dots,k_{i+1})=0
\end{align}
において, $(k_1,\dots,k_r)=(\{a,b\}^n)$とすると,
\begin{align}
\sum_{i=0}^n\zeta_{\mathcal{A}}(\{a,b\}^i)\zeta_{\mathcal{A}}^{\star}(\{b,a\}^{n-i})-\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_{\mathcal{A}}(a,\{b,a\}^i)\zeta_{\mathcal{A}}^{\star}(b,\{a,b\}^{n-i-1})=0
\end{align}
を得る. ここで, 反転公式より$ \zeta_{\mathcal{A}}(a,\{b,a\}^n)=-\zeta_{\mathcal{A}}(a,\{b,a\}^n)$だから, $\zeta_{\mathcal{A}}(a,\{b,a\}^n)=0$となる. 同様に$\zeta_{\mathcal{A}}(b,\{a,b\}^n)=0$だから, 先ほどの結果と合わせて
\begin{align}
\sum_{i=0}^n\zeta_{\mathcal{A}}(\{a,b\}^i)\zeta_{\mathcal{A}}(\{b,a\}^{n-i})=0
\end{align}
を得る. $n=1$のとき,
\begin{align}
\zeta_{\mathcal{A}}(a,b)+\zeta_{\mathcal{A}}(b,a)=0
\end{align}
と反転公式$\zeta_{\mathcal{A}}(a,b)=\zeta_{\mathcal{A}}(b,a)$より, $\zeta_{\mathcal{A}}(a,b)=0$を得る. $n$に関する帰納法を用いる. $n\geq 2$として, $n-1$まで定理が正しいとすると, 反転公式より,
\begin{align}
0=\sum_{i=0}^n\zeta_{\mathcal{A}}(\{a,b\}^i)\zeta_{\mathcal{A}}(\{b,a\}^{n-i})=\zeta_{\mathcal{A}}(\{a,b\}^n)+\zeta_{\mathcal{A}}(\{b,a\}^n)=2\zeta_{\mathcal{A}}(\{a,b\}^n)
\end{align}
であるから, $\zeta_{\mathcal{A}}(\{a,b\}^n)=0$が成り立つ. $\zeta_{\mathcal{A}}^{\star}(\{a,b\}^n)=\zeta_{\mathcal{A}}(\{a,b\}^n)$であることは既に示したから, これで示すべきことが得られた.
以上の証明は, 対称多重ゼータ値の場合でも全く同様に機能することから, 以下も成り立つことがわかる.
奇数$a,b\geq 1$と$n\geq 1$に対して,
\begin{align}
\zeta_{\mathcal{S}}(\{a,b\}^n)=\zeta_{\mathcal{S}}^{\star}(\{a,b\}^n)=0
\end{align}
が成り立つ.
