あるカスプ形式のFourier係数の有限体上の超幾何級数による表示

はじめに

数列$c(n), \beta_n$を
$$ q \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})^{12} = \sum_{n=1}^{\infty}c(n)q^n, \quad \beta_n = \frac{(1/2)_n}{n!} = \frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}} $$
により定めます. Au(2025)Auにおいて, 次の超合同式が予想されています.

Wataru氏の記事NKSにある予想を合わせることで, 以下が予想できます.

この記事では, この予想の有限体上の超幾何級数における類似を示します.

有限体上の超幾何級数に関する記法

$p$を素数, $\mathbb F_p$を位数$p$の有限体とし, $\mathbb F_p^\times $の指標$\chi $に対して, $\chi (0)=0$により定義域を$\mathbb F_p$まで拡張するものとします. また, $A,B \in \widehat {\mathbb F_p^\times}$に対して, 正規化されたJacobi和を
$$ \binom{A}{B} := \frac{B(-1)}{p}J(A,\overline B) = \frac{1}{p} \sum_{x \in \mathbb F_p}A(x)\overline{B}(x-1) $$
により定めます. このとき$\mathbb F_p$上の超幾何級数は
$$ \F{n+1}{n}{A_0,& A_1,&\ldots ,& A_n \\& B_1, &\ldots , &B_n}{x}_p := \frac{p}{p-1}\sum_{\chi \in \widehat {\mathbb F_p^\times}} \binom{A_0 \chi}{\chi } \binom{A_1 \chi}{B_1 \chi}\cdots \binom{A_n \chi}{B_n \chi}\chi(x) $$
によって定義されます. さらに,
$$ {}_{n+1}F_n(x)_p := \F {n+1}{n}{\phi_p,&\phi_p, &\ldots , &\phi_p \\ &\epsilon_p,& \ldots , &\epsilon_p}{x}_p$$
と定めます. ここで$\phi_p, \epsilon_p$はそれぞれ$\mathbb F_p$の二次指標(平方剰余), 自明指標です.

この記事で示すこと

$$ S(p):= \frac{p^7}{(p-1)^2}\sum_{\chi,\psi \in \widehat {\mathbb F_p^\times}} \binom{\phi_p \chi}{\chi } \binom{\phi_p \psi}{\psi}^3 \binom{\phi_p \chi\psi}{\chi\psi }^3 $$
とします. これは予想の合同式の右辺
$$ \sum_{\substack{0\leq a,b,c < p \\a + b =c}}\beta _a\beta_b^3\beta_c^3 $$
の, 有限体上の超幾何級数における類似物です. この記事で示すのは次の命題です.

証明

以下, $p$は奇素数とし, $\phi =\phi_p, {}_{n+1}F_n(x) ={}_{n+1}F_n(x)_p$とします.
証明に使う道具は全て論文Frechette-Ono-PapanikolasFOPから引用します. (定理名や命題名に論文内での番号を書きます.)

Step.1 $S(p)$の${}_3F_2$による表示

$S(p)$が次のような表示を持つことを示します.

まずは, 次の補題を示します.

一つ目の補題より,

$$ \begin{align*} S(p) &= \frac{p^5}{(p-1)^2} \sum_{\chi,\psi \in \widehat {\mathbb F_p^\times}} \binom{\phi \chi}{\chi}\sum_{x,y \in \mathbb F_p^\times} {}_3F_2(x){}_3F_2(y)\overline{\psi}(x)\overline{\chi \psi}(y) \\&= \frac{p^5}{(p-1)^2} \sum_{\chi\in \widehat {\mathbb F_p^\times}} \binom{\phi \chi}{\chi}\sum_{x,y \in \mathbb F_p^\times} {}_3F_2(x){}_3F_2(y) \overline\chi(y) \sum_{\psi\in \widehat {\mathbb F_p^\times}}\overline{\psi}(xy) \end{align*} $$
ですが, 指標の直交性より$\psi$に渡る和は$xy=1$の項のみ残り$p-1$となるので,
$$\begin{align*} S(p) &= \frac{p^5}{p-1} \sum_{\chi\in \widehat {\mathbb F_p^\times}} \binom{\phi \chi}{\chi}\sum_{x \in \mathbb F_p^\times} {}_3F_2(x){}_3F_2(x^{-1}) \chi(x) \\&= \frac{p^5}{p-1} \sum_{x \in \mathbb F_p^\times} {}_3F_2(x){}_3F_2(x^{-1}) \sum_{\chi\in \widehat {\mathbb F_p^\times}} \binom{\phi \chi}{\chi}\chi(x) \\&= p^4\sum_{x \in \mathbb F_p^\times} {}_3F_2(x){}_3F_2(x^{-1}) {}_1F_0(x) \\&= p^4\sum_{x \in \mathbb F_p^\times}\phi(1-x) {}_3F_2(x){}_3F_2(x^{-1}) \end{align*} $$
となります. ここで論文FOPのProposition 4.2(2)より${}_3F_2(x) = \phi(-x){}_3F_2(x^{-1})$なので
$$ \begin{align*} S(p)&=p^4\sum_{x \in \mathbb F_p^\times}\phi(-x)\phi(1-x) {}_3F_2(x^{-1})^2 \\&= p^4\sum_{x \in \mathbb F_p^\times}\phi(1-x^{-1}) {}_3F_2(x^{-1})^2 \\&= p^4\sum_{x \in \mathbb F_p^\times}\phi(1-x) {}_3F_2(x)^2 \\&= p^4\sum_{x \in \mathbb F_p \setminus \{0,1\}} \phi (1-x){}_3F_2(x)^2 \end{align*} $$
が示されました.

Step.2 Frobeniusトレースによる表示

このFrobeniusトレースを用いて, $S(p)$が以下のように表示できることを示していきます.

証明には, 以下の超幾何級数との関係を用います.

さて, Step.1より
$$S(p) = \sum_{x \in \mathbb F_p \setminus \{0,1\}} \phi (1-x)p^4 {}_3F_2(x)^2$$
でしたが, ここで
$$ T(p) := \sum_{x \in \mathbb F_p \setminus \{0,1\}} p^4 {}_3F_2(x)^2 $$
とおきます. このとき$S(p)+T(p), T(p)$をそれぞれFrobeniusトレースで書くことができます.

$S(p)+T(p)$の計算

以下の変換公式を用います.

$x\in \mathbb F_p \setminus \{0,1\}$に対して, $\lambda$に関する$\mathbb F_p$上の方程式
$$ x = \frac{-4\lambda}{(\lambda -1)^2}$$
の解は
$$\lambda = \frac{x-2\pm\sqrt{1-x}}{x} $$
なので, 解の個数は$1+\phi(1-x)$で与えられます. したがって
$$ \begin{align*} S(p)+T(p) &= \sum_{x \in \mathbb F_p \setminus \{0,1\}} (1+\phi (1-x))p^4 {}_3F_2(x)^2 \\&= \sum_{\lambda \in \mathbb F_p \setminus \{0,\pm 1\}} p^4 {}_3F_2\left(\frac{-4\lambda}{(\lambda-1)^2}\right)^2 \\&= \sum_{\lambda \in \mathbb F_p \setminus \{0,\pm 1\}} \left(p^2{}_2F_1(\lambda)^2 -p\right)^2 \\&= \sum_{\lambda \in \mathbb F_p \setminus \{0,\pm 1\}} \left({}_2A_1(p,\lambda)^2 -p\right)^2 \end{align*} $$
となります.

$T(p)$の計算

こちらは${}_3A_2$を用いて表示できます.
$$ \begin{align*} T(p) &= \sum_{x \in \mathbb F_p \setminus \{0,1\}} p^4 {}_3F_2(x)^2 \\&= \sum_{\lambda \in \mathbb F_p \setminus \{0,-1\}} p^4 {}_3F_2\left(1+\frac{1}{\lambda}\right)^2 \\&= \sum_{\lambda \in \mathbb F_p \setminus \{0,-1\}} \left({}_3A_2(p,\lambda)^2 -p\right)^2 \end{align*} $$
以上により命題が示されました.

Step.3 跡公式による$S(p)$の計算

正整数$k,N$に対して, $S_k(\Gamma_0(N))$で重さ$k$, レベル$\Gamma_0(N)$のカスプ形式のなす空間を表し, $\mathrm{Tr}_k(\Gamma_0(N),p)$で$S_k(\Gamma_0(N))$上のHecke作用素$T_p$のトレースを表します.
$$ G_k(s,p) := \sum_{j=0}^{\frac{k}2-1}(-1)^j \binom{k-j-2}{j}p^js^{k-2j-2} $$
とおき, また$p\equiv 1\pmod 4$に対して$p=a^2+b^2$(ただし$a,b$は正整数で$a$は奇数)と表し,
$$ \delta_k(p):=\begin{cases} \frac{1}2G_k(2a,p)+\frac{1}2G_k(2b,p) & \text{if}\quad p\equiv 1 \pmod 4\\ (-p)^{\frac{k}2-1} & \text{if}\quad p\equiv 3 \pmod 4 \end{cases} $$
と定めます. このとき, Frobeniusトレースを用いたEichler-Selberg跡公式は以下の形になります.

これを用いて, $S(p)$をHecke作用素のトレースで書くことができます. そして
$$ q \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})^{12} = \sum_{n=1}^{\infty}c(n)q^n =\eta(2\tau)^{12} $$
は重さ$6$, レベル$\Gamma_0(4)$の唯一のカスプ形式であり,
$$ \begin{align*} \mathrm{Tr}_6(\Gamma_0(4),p)&=c(p),\\ \mathrm{Tr}_4(\Gamma_0(4),p)&=0,\\ \mathrm{Tr}_6(\Gamma_0(2),p)&=0,\\ \mathrm{Tr}_4(\Gamma_0(2),p)&=0 \end{align*} $$
が成り立つことを用いると, 結局$S(p)$は$c(p)$を用いて表すことができます.

$S(p)+T(p)$の計算

Step.2において
$$ \begin{align*} S(p)+T(p)&= \sum_{\lambda \in \mathbb F_p \setminus \{0,\pm 1\}} \left({}_2A_1(p,\lambda)^2 -p\right)^2 \\ &= -\left({}_2A_1(p,-1)^2 -p\right)^2+ \sum_{\lambda \in \mathbb F_p \setminus \{0,1\}} \left({}_2A_1(p,\lambda)^2 -p\right)^2 \end{align*} $$
を示しました. ここで$G_4(s,p)=s^2-p, G_6(s,p)=s^4-3ps^2+p^2$なので,
$$ \left({}_2A_1(p,\lambda)^2 -p\right)^2 =G_6({}_2A_1(p,\lambda),p) + pG_4({}_2A_1(p,\lambda),p)+p^2 $$
です. 従って$\lambda\in \mathbb F_p \setminus \{0,1\}$で和を取ると, 跡公式により
$$ \begin{align*} \sum_{\lambda \in \mathbb F_p \setminus \{0,1\}} \left({}_2A_1(p,\lambda)^2 -p\right)^2 &=(-3-\mathrm{Tr}_6(\Gamma_0(4),p)) + p(-3-\mathrm{Tr}_4(\Gamma_0(4),p)) + p^2(p-2) \\&=-c(p)+p^3-2p^2-3p-3 \end{align*} $$
となります.　また
$$ \left({}_2A_1(p,-1)^2 -p\right)^2=\left(p^2{}_2F_1(-1)^2 -p\right)^2 $$
であることを用いると以下の式を得ます.
$$ S(p)+T(p)=-\left(p^2{}_2F_1(-1)^2 -p\right)^2-c(p)+p^3-2p^3-3p-3. $$

$T(p)$の計算

Step.2において
$$ T(p)=\sum_{\lambda \in \mathbb F_p \setminus \{0,-1\}} \left({}_3A_2(p,\lambda)^2 -p\right)^2 $$
を示しました.
$$ \left({}_3A_2(p,\lambda)^2 -p\right)^2 =G_6({}_3A_2(p,\lambda),p) + pG_4({}_3A_2(p,\lambda),p)+p^2 $$
について,両辺 $\lambda \in \mathbb F_p \setminus \{0,-1\}$で和を取ると, 跡公式により
$$ \begin{align*} T(p) &= (-2-\delta_6(p)-\mathrm{Tr}_6(\Gamma_0(4),p)) + p(-2-\delta_4(p)-\mathrm{Tr}_4(\Gamma_0(4),p)) + p^2(p-2) \\&= -\delta_6(p)-p\delta_4(p)+p^3-2p^2-2p-2 \end{align*} $$
を得ます.

誤差項の計算

以上より,
$$ \begin{align*} S(p)&=(S(p)+T(p))-T(p)\\ &=-\left[\left(p^2{}_2F_1(-1)^2 -p\right)^2-\delta_6(p)-p\delta_4(p)\right]-c(p)-p-1 \end{align*} $$
であることがわかりました. あとは
$$ \left(p^2{}_2F_1(-1)^2 -p\right)^2-\delta_6(p)-p\delta_4(p) =p^2+2p^3{}_3F_2(1) $$
であることを示せば今回の主定理が従います. これを次の特殊値を用いて, $p \mod 4$で場合分けして示します.

(i)$p\equiv 1\pmod 4$のとき
$$ \begin{align*} &\left(p^2{}_2F_1(-1)^2 -p\right)^2-\delta_6(p)-p\delta_4(p)\\ &= \left(4a^2 -p\right)^2-\frac{1}2\left(G_6(2a,p)+pG_4(2a,p) \right)-\frac{1}2\left(G_6(2b,p)+pG_4(2b,p) \right)\\ &= \left(4a^2 -p\right)^2-\frac{1}2\left(16a^4-8pa^2\right)-\frac{1}2\left(16b^4-8pb^2\right)\\ &=16a^4-8pa^2+p^2-8(a^4+b^4)+4p(a^2+b^2)\\ &=16a^4-8pa^2+p^2-8(a^4+(p-a^2)^2)+4p^2\\ &=8pa^2-3p^2\\ &=p^2+2p^3{}_3F_2(1). \end{align*} $$

(ii)$p\equiv 3\pmod 4$のとき
$$ \begin{align*} &\left(p^2{}_2F_1(-1)^2 -p\right)^2-\delta_6(p)-p\delta_4(p)\\ &=p^2-(-p)^2-p(-p)\\ &=p^2\\ &=p^2+2p^3{}_3F_2(1). \end{align*} $$
どちらの場合においても成り立ったので, 主定理
$$ c(p)+S(p)+p^2+p+1+2p^3 {}_3F_2(1)_p = 0 $$
が示されました.