JJMO2013/8 から学ぶ見直しの大切さ

問題

(謎の改行がどうしても入ってしまう…)

分子の数を繋いで読むと$2013$。綺麗。

解いてみる

以下、私の初見の解法です。遠回りなことしててもﾕﾙｼﾃ

$1.$とりあえず通分してみる。

$$\frac{201b + 3a}{ab}$$

$2.$関係を探してみる。

$ab \mid 201b+ 3a$ だから、
$a \mid 201b + 3a$ つまり、
$a \mid 201b$.
同様にして、$b \mid 3a$.
$b \mid 3a$の方がスッキリしてて使いやすそうなので、
$3a = bk$$(k$は自然数$)$とでもおいておく。

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$3.$$k$の候補を絞る。

$3a= bk$だから
$$a = \frac{bk}{3}$$
これを与式に代入すれば、
$$ \frac{201b +3\cdot\frac{bk}{3}}{\frac{bk}{3} \cdot b}=\frac{603b+3bk}{b^2k}=\frac{603+3k}{bk}.$$
さっきと同じようにして$k \mid (\text{なんちゃら})$が作れそう。

$bk \mid 603+ 3k$だから、
$k \mid 603+3k$つまり、
$k \mid 603.$
ｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━!!!
さて、$k$は$603$の約数だと分かったので、しらみつぶしします。
($603 = 3^2 \cdot 67$より約数は6個。現実的！)

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$4.$しらみつぶし！

$< k=1>$
$$a=\frac{b \cdot 1}{3}=\frac{1}{3}b$$これを代入して
$$\frac{201b+3\cdot \frac{b}{3}}{\frac{b}{3}\cdot b} = \frac{603+3}{b} =\frac{606}{b}$$
$b \mid 606 $だから、$b$は$606$の約数であり、
個数は$606=2 \cdot 3 \cdot 101$より$8$個

$< k=3>$
$$a=\frac{b \cdot 3}{3} = b$$これを代入して
$$ \frac{201b + 3b}{b^2} = \frac{204}{b}$$
$b$は$204$の約数で個数は$12$個

$< k=9>$
(中略)
よって$b$は$8$個

$< k=67>$
$$a = \frac{67}{3}b$$これを代入して、
$$\frac{804}{67b}=\frac{12}{b}$$
よって$b$は$6$個

$< k=201>$
(中略)
$b$は$4$個

$< k=603>$
(中略)
$b$は$3$個

あとは全部足して終わり！41個！！

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(念のため答えを確認)

　
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$答え:34$

$$ ？？？？？？？？$$

なぜ間違ってしまったか

それはズバリ、見直しをしていなかったから！
もう少し具体的に言えば、しらみつぶしでの$< k=1>$と$< k=67>$の結果がダメだったからです。

$< k=1>$の時を見てみましょう。

$$a=\frac{b \cdot 1}{3}=\frac{1}{3}b$$これを代入して
$$\frac{201b+3\cdot \frac{b}{3}}{\frac{b}{3}\cdot b} = \frac{603+3}{b} =\frac{606}{b}$$
$b \mid 606 $だから、$b$は$606$の約数であり、
個数は$606=2 \cdot 3 \cdot 101$より$8$個

一体どこが間違っているんでしょうか？
$b$に$2$とか$101$とかを代入すれば異変に気づくはずです。
そう！
$a$が整数でない場合も含まれているのです！
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改善版

$$a=\frac{b \cdot 1}{3}=\frac{1}{3}b$$
つまり、$$b=3a$$これを代入して
$$\frac{201 \cdot 3a+3a}{a\cdot 3a} = \frac{201+1}{b} =\frac{202}{b}$$
$b \mid 202$だから、$b$は$202$の約数であり、
個数は$202=2 \cdot 101$より$4$個

整数係数で置き換えをしよう！

おわりに

ここまで読んでくれて、ありがとうございます！
思いつきで作ったので中々の拙文でした…。

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結論 : 見直しは大事！！(当たり前)

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