JJMO2013/8 から学ぶ見直しの大切さ

問題

(謎の改行がどうしても入ってしまう…)

分子の数を繋いで読むと$2013$。綺麗。

解いてみる

以下、私の初見の解法です。遠回りなことしててもﾕﾙｼﾃ

$1.$とりあえず通分してみる。

$$\frac{201b+3a}{ab}$$

$2.$関係を探してみる。

$ab\mid 201b+3a$ だから、
$a\mid 201b+3a$ つまり、
$a\mid 201b$.
同様にして、$b\mid 3a$.
$b\mid 3a$の方がスッキリしてて使いやすそうなので、
$3a=bk$$(k$は自然数$)$とでもおいておく。

$3.$$k$の候補を絞る。

$3a=bk$だから
$$a=\frac{bk}{3}$$
これを与式に代入すれば、
$$\frac{201b+3\cdot \frac{bk}{3}}{\frac{bk}{3}\cdot b}=\frac{603b+3bk}{b^{2}k}=\frac{603+3k}{bk}.$$
さっきと同じようにして$k\mid (\text{なんちゃら})$が作れそう。

$bk\mid 603+3k$だから、
$k\mid 603+3k$つまり、
$k\mid 603.$
ｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━!!!
さて、$k$は$603$の約数だと分かったので、しらみつぶしします。
($603=3^2\cdot 67$より約数は6個。現実的！)

$4.$しらみつぶし！

$<k=1>$
$$a=\frac{b\cdot 1}{3}=\frac{1}{3}b$$これを代入して
$$\frac{201b+3\cdot \frac{b}{3}}{\frac{b}{3}\cdot b}=\frac{603+3}{b}=\frac{606}{b}$$
$b\mid 606$だから、$b$は$606$の約数であり、
個数は$606=2\cdot 3\cdot 101$より$8$個

$<k=3>$
$$a=\frac{b\cdot 3}{3}=b$$これを代入して
$$\frac{201b+3b}{b^2}=\frac{204}{b}$$
$b$は$204$の約数で個数は$12$個

$<k=9>$
(中略)
よって$b$は$8$個

$<k=67>$
$$a=\frac{67}{3}b$$これを代入して、
$$\frac{804}{67b}=\frac{12}{b}$$
よって$b$は$6$個

$<k=201>$
(中略)
$b$は$4$個

$<k=603>$
(中略)
$b$は$3$個

あとは全部足して終わり！41個！！

(念のため答えを確認)

$$
$答え:34$

$$？？？？？？？？$$

なぜ間違ってしまったか

それはズバリ、見直しをしていなかったから！
もう少し具体的に言えば、しらみつぶしでの$<k=1>$と$<k=67>$の結果がダメだったからです。

$<k=1>$の時を見てみましょう。

$$a=\frac{b\cdot 1}{3}=\frac{1}{3}b$$これを代入して
$$\frac{201b+3\cdot \frac{b}{3}}{\frac{b}{3}\cdot b}=\frac{603+3}{b}=\frac{606}{b}$$
$b\mid 606$だから、$b$は$606$の約数であり、
個数は$606=2\cdot 3\cdot 101$より$8$個

一体どこが間違っているんでしょうか？
$b$に$2$とか$101$とかを代入すれば異変に気づくはずです。
そう！
$a$が整数でない場合も含まれているのです！
$$ 　

改善版

$$a=\frac{b\cdot 1}{3}=\frac{1}{3}b$$
つまり、$$b=3a$$これを代入して
$$\frac{201\cdot 3a+3a}{a\cdot 3a}=\frac{201+1}{b}=\frac{202}{b}$$
$b\mid 202$だから、$b$は$202$の約数であり、
個数は$202=2\cdot 101$より$4$個

整数係数で置き換えをしよう！

おわりに

ここまで読んでくれて、ありがとうございます！
思いつきで作ったので中々の拙文でした…。

結論 : 見直しは大事！！(当たり前)