Ehresmannの補題の証明

$^\forall p\in M$を取ると，陰関数定理より$p\in^\exists U\text{：nbh},\ f(p)\in^\exists V\text{：nbh}$，局所座標$^\exists x:U\rightarrow \mathbb{R}^m$，$^\exists y:V\rightarrow\mathbb{R}^n$ s.t.
$$y\circ f\circ x^{-1}(x^1,\dots x^m)=(x^1,\dots,x^n)$$
$f$は沈み込みなため$m\geq n$であることに注意する．

$\underline{\text{・State 1 }}$
ベクトル場$\frac{\partial}{\partial y^i}$のリフトは$\frac{\partial}{\partial x^i}$である．
$\because$ $f$のヤコビ行列は局所座標を用いて以下のように計算される・
$$J_f = \qty(\begin{array}{ccc} \frac{\partial f_1}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x^m}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial f_n}{\partial x^1} &\cdots& \frac{\partial f_n}{\partial x^m} \end{array}) = \qty(\begin{array}{cccccc} 1 &\cdots& 0 & 0 &\cdots & 0\\ \vdots &\ddots& \vdots & \vdots &\ddots&\vdots\\ 0 &\cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 \end{array}) = (E_{n\times n}, O_{(m-n)\times n})$$
よって$(df)_p(\frac{\partial}{\partial x^i}) = J_f \qty(\begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{array}) =\frac{\partial}{\partial y^i}$から示される． $\square$
　よって任意の$N$のベクトル場は，$\frac{\partial}{\partial y^i}$の線形結合で書けるため，$M$のベクトル場になるリフトが存在する．
　ここまでは$M$の$p$の開近傍での話だ．$M$で成立することを示すには，$M$のチャートとして$\{U_\alpha\}$が取れ，その上の1の分割$\{\lambda_\alpha\}$が取れる．$M$を覆う開集合$U_\alpha$らの上で定義された$N$のベクトル場$Y_\alpha$を取る．そのリフトを$X_\alpha$と置き，$M$上のベクトル場を$\displaystyle X=\sum_\alpha \lambda_\alpha X_\alpha$，$N$のベクトル場を$\displaystyle Y=\sum_\alpha \lambda_\alpha Y_\alpha$とし，$Y$のリフトが$X$であることを示す．
$$\begin{array}{rcl} \displaystyle (df)(X) &=& \displaystyle (df)\qty(\sum_\alpha \lambda_\alpha X_\alpha )\\ &=& \displaystyle \sum_\alpha \lambda_\alpha (df)(X_\alpha)\\ &=& \displaystyle \sum_\alpha \lambda_\alpha Y_\alpha \circ f\\ &=& Y\circ f \end{array}$$

$a< b$とする．$K=f^{-1}\qty(\{\phi_Y^t(q)\ |\ t\in[0,b)\})$と置くと，$f$は固有写像からコンパクトである．$Y$のリフトが$X$であるから積分曲線$t\mapsto\phi_X^t(p)$は$K$の中に含まれる．また，$a$は有限にはなり得らない．なぜならコンパクトであれば完備なためだ．

$^\forall q\in N$を取り，この点の周りで局所自明化写像を構成する．示すことは局所的な性質なので$q=0,N=\mathbb{R}^n$としていい．
　$^\forall p\in f^{-1}(0)$を取る．$f$が沈めこみであるから，陰関数定理より，$p\in^\exists U_p\subset M, \ 0\in^\exists V\subset N$となる開近傍と座標$\varphi_p,\psi_p$を以下を満たすように取ることができる．
$$\psi_p\circ f\circ(\varphi_p)^{-1}:\varphi_p(U_p)\ni(x_1,\dots,x_m)\mapsto(x_1,\dots,x_n)\in\psi_p(v_p)$$
かつ$f(U_p)\subset V_p$

　このような$U_p,\varphi_p,V_p,\psi_p$を全ての$p\in f^{-1}(0)$で一組ずつ取る．すると$\{U_p\}_{p\in f^{-1}(0)}$が$f^{-1}(0)$の開被覆になる．ここで$f$の固有性より$f^{-1}(0)$はコンパクトであるから，$\{U_p\}_{p\in f^{-1}(0)}$は有限個の$p_1,\dots,p_k\in f^{-1}(0)$を用いて$\{U_{p_i}\}_{i=1}^k$が$f^{-1}(0)$の開被覆となるように選べる．(記号の簡略化で$U_{p_i},\varphi_{p_i},V_{p_i},\psi_{p_i}$を単に$U_i,\phi_i,V_i\psi_i$と表記する．)

　この条件の下で
$$U=\bigcup_{i=1}^k U_i,\ \ \ V=\bigcap_{i=1}^k V_i$$
と置く．これらはそれぞれ$f^{-1}(0)$の$M$における開近傍，$0$の$N$における開近傍である．

　以下では$f$の局所自明化を$V$で構成する．$N=\mathbb{R}^n$の座標系を$(y_1,\dots,y_n)$と書き，$V$上のベクトル場$Y_j=\frac{\partial}{\partial y_j}$を考えよう．このとき$f$が沈めこみだから，$Y_j$のリフトで$U$上定義されたベクトル場$X_j$がある．

　さて$U,V$を適当に小さく取り直して，$X_j$の積分曲線を$\phi_{X,j}:(-\varepsilon,\varepsilon)\times U\rightarrow U$，$Y_j$の積分曲線を$\phi_{Y,j}:(-\varepsilon,\varepsilon)\times V\rightarrow V$と表記する．$Y_j$の定義から積分曲線は
$$\phi_{Y,j}(t,y_1,\dots,y_n)=(y_1,\dots,y_j+t,\dots,y_n)$$
であり，$f$は固有な沈めこみだから積分曲線をリフトでき
$$f\circ\phi_{X,j}(t,-)=\phi_{Y,j}(t,-)\circ f$$
が成り立つ．したがって任意の$x\in f^{-1}(0)$に対して
$$f\circ\phi_{X,j}(t,x)=(0,\dots,t,\dots,0)$$
であるから，これを全ての$j$で合成することにより
$$f\circ\phi_{X,n}(y_n,-)\circ\cdots\circ\phi_{X,1}(y,-)(x) =f(x)$$
であるからこれで$f$の局所自明化
$$\Phi:V\times f^{-1}(0)\rightarrow f^{-1}(V),\ \ \ (y_1,\dots,y_n)\mapsto \phi_{X,n}(y_n,-)\circ\cdots\phi_{X,1}(y_1,-)(x)$$
が得られる．