幸福を摂取しよう

出典不明ですが，以下の問題に対しての幸福度の高い解法を紹介しようと思います。

問題

解答

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}|f(k+1)-f(k)|~$は数列$a_k=|f(k+1)-f(k)|$の平均の極限である。

大数の法則により，この極限は（収束を一旦認めれば）確率変数$X$が区間$[0,\pi)$上の一様分布に従うときの$|f(X+1)-f(X)|$の期待値に等しい。

ここで，$f(x)$の定義から，

　　　$E[|f(X+1)-f(X)|]=P(f(x+1)\neq f(x)) $

であり，さらに$x\in[0,\pi)$で$f(x+1)\neq f(x)$となるのは，

\begin{align} 　　　\frac{\pi}{2}-1< x<\frac{\pi}{2}~~\text{or}~~\pi-1< x<\pi \end{align}
なので，求める値は$\dfrac{2}{\pi}$である。

最後に

最後まで読んでいただきありがとうございました。