［指数×三角関数］積分道場#92を解いてみる

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やってきま～～しょう。今回の問題はこちら。
積分道場第92問から。

次の積分を求めなさい。（横浜国立大 '13入試）

$\int e^{- x} \sin^{2} x d x$

あ～……置換積分＋αって感じだなぁ。
んじゃちゃちゃっとやりますか。

三角関数の倍角の公式から
$\begin{aligned} \int e^{- x} \sin^{2} x d x & = \frac{1}{2} \int e^{- x} (1 + \sin 2 x) d x \\ = \frac{1}{2} \int e^{- x} d x_{（①）} + \frac{1}{2} \int e^{- x} \sin 2 x d x_{（②）} \end{aligned}$

……なんか見たことあるやつらだな。
さて、こうなったら分離させてちゃちゃっと終わらせちゃいましょう。

$\begin{array}{r} （①） \int e^{- x} d x = - e^{- x} + C \end{array}$
$\begin{aligned} （②） \int e^{- x} \sin 2 x d x & = - \int e^{- x} {(\frac{1}{2} \cos 2 x)}^{'} d x \\ = - \frac{1}{2} e^{- x} \cos 2 x - \frac{1}{2} \int e^{- x} \cos 2 x d x \\ = - \frac{1}{2} e^{- x} \cos 2 x - \frac{1}{2} \int e^{- x} {(\frac{1}{2} \sin 2 x)}^{'} d x \\ = - \frac{1}{2} e^{- x} \cos 2 x - \frac{1}{4} e^{- x} \sin 2 x - \frac{1}{4} \int e^{- x} \sin 2 x d x \end{aligned}$
$\begin{aligned} ⟹ \frac{5}{4} \int e^{- x} \sin 2 x d x = - \frac{1}{4} e^{- x} (2 \cos 2 x + \sin 2 x) \\ ∴ \int e^{- x} \sin 2 x d x = - \frac{1}{5} e^{- x} (2 \cos 2 x + \sin 2 x) + C \end{aligned}$

……思ってたより $e^{- x} \sin 2 x$ が複雑だったな。
ちょっと怖いんで検算していいすか？

$\begin{aligned} \frac{d}{d x} {- \frac{1}{5} e^{- x} (2 \cos 2 x + \sin 2 x)} \\ = & \frac{1}{5} e^{- x} (2 \cos 2 x + \sin 2 x) - \frac{1}{5} e^{- x} (- 4 \sin 2 x + 2 \cos 2 x) \\ = & \frac{1}{5} e^{- x} (2 \cos 2 x + \sin 2 x + 4 \sin 2 x - 2 \cos 2 x) \\ = & e^{- x} \sin 2 x \end{aligned}$
おっけ、大丈夫そうです。それじゃ最後の仕上げと行きましょう。

$\begin{aligned} \int e^{- x} \sin^{2} x d x & = \frac{1}{2} (① + ②) \\ = - \frac{1}{2} e^{- x} {1 + \frac{1}{5} (2 \cos 2 x + \sin 2 x)} + C \\ = - \frac{1}{10} e^{- x} (2 \cos 2 x + \sin 2 x + 5) + C ◼ \end{aligned}$

おわった～～！！！　ちゃんとできてるか不安だなぁ、これ。
また検算はしてみます。

$\begin{aligned} \frac{d}{d x} {- \frac{1}{10} e^{- x} (2 \cos 2 x + \sin 2 x + 5)} \\ = & \frac{1}{10} {e^{- x} (2 \cos 2 x + \sin 2 x + 5) - e^{- x} (- 4 \sin 2 x + 2 \cos 2 x)} \\ = & \frac{1}{10} e^{- x} (5 \sin 2 x + 5) \\ = & e^{- x} \cdot \frac{1 + \sin 2 x}{2} \\ = & e^{- x} \sin^{2} x \\ ∴ \int e^{- x} \sin^{2} x d x = - \frac{1}{10} e^{- x} (2 \cos 2 x + \sin 2 x + 5) + C \end{aligned}$