［指数×三角関数］積分道場#92を解いてみる

やってきま～～しょう。今回の問題はこちら。
積分道場第92問 から。

あ～……置換積分＋αって感じだなぁ。
んじゃちゃちゃっとやりますか。

三角関数の倍角の公式から
$$\begin{aligned} \int e^{-x}\sin^2x\,{\rm d}x&=\frac12\int e^{-x}(1+\sin2x)\,{\rm d}x \\ &=\frac12\int e^{-x}\,{\rm d}x_\text {（①）}+\frac12\int e^{-x}\sin2x\,{\rm d}x_\text {（②）} \end{aligned}$$

……なんか見たことあるやつらだな。
さて、こうなったら分離させてちゃちゃっと終わらせちゃいましょう。

$$\begin{aligned} \text {（①）}\int e^{-x}\,{\rm d}x=-e^{-x}+C \\ \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \text {（②）}\int e^{-x}\sin 2x\,{\rm d}x&=-\int e^{-x}\left(\frac12\cos2x\right)' \,{\rm d}x\\ &=-\frac12e^{-x}\cos2x-\frac12\int e^{-x}\cos2x\,{\rm d}x \\ &=-\frac12e^{-x}\cos2x-\frac12\int e^{-x}\left(\frac12\sin2x\right)'\,{\rm d}x \\ &=-\frac12e^{-x}\cos2x-\frac14e^{-x}\sin2x-\frac14\int e^{-x}\sin2x\,{\rm d}x \\ \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \qquad&\Longrightarrow \frac54\int e^{-x}\sin2x\,{\rm d}x=-\frac14e^{-x}\left(2\cos2x+\sin2x\right) \\ &\therefore \int e^{-x}\sin2x\,{\rm d}x=-\frac15e^{-x}(2\cos2x+\sin2x)+C \end{aligned}$$

……思ってたより$e^{-x}\sin2x$が複雑だったな。
ちょっと怖いんで検算していいすか？

$$\begin{aligned} &\,\frac{\rm d}{{\rm d}x}\left\{-\frac15e^{-x}(2\cos2x+\sin2x)\right\} \\ =&\,\frac15e^{-x}(2\cos2x+\sin2x)-\frac15e^{-x}(-4\sin2x+2\cos2x) \\ =&\,\frac15e^{-x}(2\cos2x+\sin2x+4\sin2x-2\cos2x) \\ =&\,e^{-x}\sin2x \end{aligned}$$
おっけ、大丈夫そうです。それじゃ最後の仕上げと行きましょう。

$$\begin{aligned} \int e^{-x}\sin^2x\,{\rm d}x&=\frac12(\text {①}+\text{②}) \\ &=-\frac12e^{-x}\left\{1+\frac15(2\cos2x+\sin2x)\right\}+C \\ &=-\frac1{10}e^{-x}(2\cos2x+\sin2x+5)+C \quad\blacksquare \end{aligned}$$

おわった～～！！！　ちゃんとできてるか不安だなぁ、これ。
また検算はしてみます。

$$\begin{aligned} &\,\frac{\rm d}{{\rm d}x}\left\{-\frac1{10}e^{-x}(2\cos2x+\sin2x+5)\right\} \\ =&\,\frac1{10}\left\{e^{-x}(2\cos2x+\sin2x+5)-e^{-x}(-4\sin2x+2\cos2x)\right\} \\ =&\,\frac1{10}e^{-x}(5\sin2x+5) \\ =&\,e^{-x}\cdot\frac{1+\sin2x}2 \\ =&\,e^{-x}\sin^2x \\ &\therefore\int e^{-x}\sin^2x\,{\rm d}x=-\frac1{10}e^{-x}(2\cos2x+\sin2x+5)+C \end{aligned}$$

おっけおっけ！　ちゃんと決まると嬉しいですね。
三角関数が$g$側の部分積分ってめんどくさいなぁ、って再認識させられました。

まだシロクマさんの解き方は見ていないので、同じ方法か別の方法かはわかりません。

また次の記事でお会いしましょう！　それでは。