ポリログの表示

$\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$より$\displaystyle -\ln(1-x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}$
$\displaystyle x=\frac{1}{2}$とすれば得る

\begin{align} f_k(n)&:=\sum_{n< m}\frac{m!}{2^{m}m^{k}(m+n)!}\\ f_1(n-1)&=\sum_{n\le m}\frac{m!}{2^{m}m(m+n-1)!}\\&=\sum_{n< m}\frac{(m+n)m!}{2^{m}m(m+n)!}+\frac{n!}{2^nn(2n-1)!}\\&=f_0(n)+nf_1(n)+\frac{2n!}{2^n(2n)!} \\f_0(n)+2nf_1(n)&=\sum_{n< m}\frac{m!}{2^m(m+n)!}\frac{m+2n}{m}\\&=\sum_{n< m}\left(\frac{(m-1)!}{2^{m-1}(m+n-1)!}-\frac{m!}{2^m(m+n)!}\right)\\&=\frac{n!}{2^n(2n)!}\\nf_1(n)+f_1(n-1)&=\frac{3n!}{2^n(2n)!}\\(-1)^nn!f_1(n)-(-1)^{n-1}(n-1)!f_1(n-1)&=(-1)^n\frac{3}{2^nn\binom{2n}{n}}\\-(-1)^aa!f_1(a)&=3\sum_{a< n}\frac{(-1)^n}{2^nn\binom{2n}{n}}\\ \end{align}
$a=0$とすれば得る

\begin{align} f_k(n)&:=\sum_{n< m}\frac{m!}{a^mm^k(n+m)!}\\ f_1(n-1)&=\sum_{n\le m}\frac{m!}{a^mm(n+m-1)!}\\&=\sum_{n< m}\frac{m!}{a^mm(n+m-1)!}+\frac{2n!}{a^n(2n)!}\\&=nf_1(n)+f_0(n)+\frac{2n!}{a^n(2n)!}\\anf_1(n)+(a-1)f_0(n)&=\sum_{n< m}\frac{m!}{a^m(n+m)!}\frac{an+(a-1)m}{m}\\&=\sum_{n< m}\left(\frac{(m-1)!}{a^{m-1}(n+m-1)!}-\frac{m!}{a^m(n+m)!}\right)\\&=\frac{n!}{a^n(2n)!}\\(a-1)f_1(n-1)&=(a-1)nf_1(n)+(a-1)f_0(n)+(a-1)\frac{2n!}{a^n(2n)!}\\anf_1(n)&=-(a-1)f_0(n)+\frac{n!}{a^n(2n)!} \\(a-1)f_1(n-1)&=-nf_1(n)+(2a-1)\frac{n!}{a^n(2n)!}\\\frac{(-1)^nn!}{(a-1)^n}f_1(n)-\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(a-1)^{n-1}}f_1(n-1) &=\frac{(2a-1)(-1)^n}{(a-1)^na^nn\binom{2n}{n}}\\f_1(n)&=\frac{(-1)^nn!(2a-1)}{(a-1)^n}\sum_{n< m}\frac{(-1)^{m-1}}{a^m(a-1)^mm\binom{2m}{m}} \end{align}

\begin{align} f_k(n)&:=\sum_{n< m}\frac{m!}{m^ka^m(n+m)!}\\f_1(n-1)&=\sum_{n\le m}\frac{m!}{ma^m(n+m-1)!}\\&=\sum_{n< m}\frac{m!}{ma^m(n+m-1)!}+\frac{2n!}{a^n(2n)!}\\&=nf_1(n)+f_0(n)+\frac{2n!}{a^n(2n)!}\\anf_1(n)+(a-1)f_0(n)&=\sum_{n< m}\frac{m!}{a^m(n+m)!}\frac{an+(a-1)m}{m}\\&=\sum_{n< m}\left(\frac{(m-1)!}{a^{m-1}(n+m-1)!}-\frac{m!}{a^m(n+m)!}\right)\\&=\frac{n!}{a^n(2n)!}\\ anf_1(n)+(a-1)f_0(n)&=\frac{n!}{a^n(2n)!}\\ (a-1)f_1(n-1)-(a-1)nf_1(n)-(a-1)f_0(n)&=(a-1)\frac{2n!}{a^n(2n)!}\\ (a-1)f_1(n-1)+nf_1(n)&=\frac{n!}{a^n(2n)!}(2a-1)\\ f_2(n-1)&=\sum_{n\le m}\frac{m!}{m^2a^m(n+m-1)!}\\&=\sum_{n< m}\frac{m!}{m^2a^m(n+m-1)!}+\frac{2n!}{na^n(2n)!}\\&=nf_2(n)+f_1(n)+\frac{2n!}{na^n(2n)!}\\nf_2(n-1)&=n^2f_2(n)+nf_1(n)+\frac{2n!}{a^n(2n)!}\\(a-1)f_2(n-2)&=(a-1)(n-1)f_2(n-1)+(a-1)f_1(n-1)+(a-1)\frac{4an!(2n-1)}{(n-1)a^{n}(2n)!}\\ nf_2(n-1)+(a-1)f_2(n-2)&=n^2f_2(n)+(a-1)(n-1)f_2(n-1)+\frac{n!}{a^n(2n)!}(2a-1)+\frac{2n!}{a^n(2n)!}+\frac{4a(a-1)n!(2n-1)}{(n-1)a^n(2n)!}\\ (2-a)nf_2(n-1)+(a-1)f_2(n-1)+(a-1)f_2(n-2)-n^2f_2(n)&=\frac{n!}{a^n(2n)!}\left(2a+1+\frac{4a(a-1)(2n-1)}{n-1}\right)\\ \frac{n(g(n)-g(n-1))+(a-1)(n-1)(g(n-1)-g(n-2))}{(n-1)!}&=-(〜)\\(-1)^n\frac{1}{(a-1)^n}n(g(n)-g(n-1))-(-1)^{n-1}\frac{1}{(a-1)^{n-1}}(n-1)(g(n-1)-g(n-2)&=\frac{(-1)^{n-1}}{(a-1)^n}\frac{(8a^2n-6an-4a^2+2a+n-1)}{n(n-1)a^n\binom{2n}{n}}\\g(n)-g(n-1)&=\frac{(-1)^n}{(a-1)^nn}\sum_{n< m}\frac{(-1)^{m}}{(a-1)^m}\frac{(8a^2m-6am-4a^2+2a+m-1)}{m(m-1)a^m\binom{2m}{m}}\\f_2(n)&=\frac{1}{n!}\sum_{n< n_1< n_2}\frac{(-1)^{n_1-1}}{n_1(a-1)^{n_1}}\frac{(-1)^{n_2}}{(a-1)^{n_2}}\frac{(8a^2n_2-6an_2-4a^2+2a+n_2-1)}{n_2(n_2-1)a^{n_2}\binom{2n_2}{n_2}} \end{align}