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京大理系数学2018-6

問題６

四面体 $A B C D$ は $A C = B D$ ， $A D = B C$ を満たすとし，辺 $A B$ の中点を $P$ ，辺 $C D$ の中点を $Q$ とする．
(1)辺 $A B$ と線分 $P Q$ は垂直であることを示せ．
(2)線分 $P Q$ を含む平面 $α$ で四面体 $A B C D$ を切って $2$ つの部分に分ける．このとき， $2$ つの部分の体積は等しいことを示せ．

解答

図は各自で書いてみてください．
(1)
基本ベクトルを $\vec{A C}, \vec{A B}, \vec{A D}$ として考えてみる．
計算すると， $\vec{P Q} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{A C} - \vec{A B})$ が分かる．
よって， $\vec{A B} \cdot 2 \vec{P Q} = \vec{A D} \cdot \vec{A B} + \vec{A C} \cdot \vec{A B} - \vec{A B} \cdot \vec{A B}$ である．
これだと，にっちもさっちも行かないので， $\vec{A B} \cdot 2 \vec{P Q} = \vec{A C} \cdot \vec{A B} - \vec{B D} \cdot \vec{A B}$ と書きなおす．問題文より， $A C = B D$ なので，あとは， $∠ C A B = ∠ A B D$ を示せばよい．これは， $△ A B C \equiv △ B A D$ （合同）より明らか．
(2)
上と同様の考察で， $P Q$ と $C D$ も直交することが分かる．
明らかに $α$ が辺 $C D$ を含むとき体積は二等分されるし，辺 $A B$ を含むときもそう．なので，そうじゃないパターンを考える．
頑張ることで， $α$ が辺 $B C$ と交点 $S$ を持ち， $α$ が辺 $A D$ と交点 $T$ を持つとき， $T D = C S$ を導くことができる．
すると，このとき，
四面体 $A P S T$ と四面体 $P B S T$ が合同，
四面体 $A T C S$ と四面体 $B D T S$ が合同，
四面体 $S C Q T$ と四面体 $T D Q S$ が合同，
というのが分かるので，二つの部分の体積は等しいことが分かる．
$α$ が辺 $A C$ と辺 $B D$ に交点を持つときも同様にしてできることが対称性から分かるので．これで示された．