薄い圏の考察(3)．局所的小圏から薄い圏への関手（薄化関手）の性質、およびその自然変換、関手圏.
局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)への関手（いわば薄化関手thinning functor)について考えます。
このとき、次の命題が成り立ちます。
命題１。 局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)に、関手Tが定義される必要十分条件は、写像T：Ob(${\mathcal C}$) ${ \to }$ Bが定義され、かつ任意のi,j${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対して圏C${_B}$での射g${_T}$${_(}$${_i}$${_)}$${_T}$${_(}$${_j}$${_)}$が存在すること。
(証明)必要性は明らかなので、十分性を示します。
仮定より、任意のi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対してただひとつのT(i)${ \in }$Bがとれ、かつ任意のi,j${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対して g${_T}$${_(}$${_i}$${_)}$${_T}$${_(}$${_j}$${_)}$ がとれます。
そこで圏${\mathcal C}$での射を集めた類をhom(${\mathcal C}$)としたとき 対応 T : hom(${\mathcal C}$) ${ \to }$ hom(C${_B}$) を T(f:i ${ \to }$ j) := g${_T}$${_(}$${_i}$${_)}$${_T}$${_(}$${_j}$${_)}$ で定義すると、Tは写像となっています。
（証明）hom(${\mathcal C}$)において、射f${_1}$:i ${ \to }$ jと射f${_2}$:k ${ \to }$ l が同じとすると i=kかつj＝l なので、T(i)=T(k)かつT(j)＝T(l)。 薄い圏での射の一意性より g${_T}$${_(}$${_i}$${_)}$${_T}$${_(}$${_j}$${_)}$=g${_T}$${_(}$${_k}$${_)}$${_T}$${_(}$${_l}$${_)}$が成り立つので T(f${_1}$)=T(f${_2}$)。 （証明終）
またこのときT : hom(${\mathcal C}$) ${ \to }$ hom(C${_B}$) は演算${ \circ }$を保ち、かつ恒等射を恒等射に移します。
（証明） T(f${_2}$:j ${ \to }$ m)${ \circ }$T(f${_1}$:i ${ \to }$ j) =g${_T}$${_(}$${_j}$${_)}$${_T}$${_(}$${_m}$${_)}$${ \circ }$g${_T}$${_(}$${_i}$${_)}$${_T}$${_(}$${_j}$${_)}$=g${_T}$${_(}$${_i}$${_)}$${_T}$${_(}$${_m}$${_)}$=T(f${_2}$${ \circ }$f${_1}$:i ${ \to }$ m)。 またT(f:i ${ \to }$ i)=g${_T}$${_(}$${_i}$${_)}$${_T}$${_(}$${_i}$${_)}$ 。 （証明終）（以上より命題の証明終）
この命題から以下の命題が得られます。
命題２。薄い小圏C${_A}$から薄い小圏C${_B}$への関手Tが定義されている必要十分条件は、前順序集合Aと前順序集合Bのあいだに、単調写像Tが定義されていること。 注。ここで前順序集合Aと前順序集合Bのあいだに単調写像T : A → B が定義されているとは、「i${ \leq }$ j なるAの要素 i と j に対して T(i) ${ \leq }$ T(j) 」がなりたつことです。
（証明）「薄い圏の考察(1)」の例５に命題１を適用すると得られます。（証明終）
局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)への関手Tについては、さらに以下の命題が成立します。
命題３の１．Tが忠実関手である必要十分条件は、${\mathcal C}$が薄い圏であること。
命題３の２．Tが充満関手である必要十分条件は、${\mathcal C}$が強連結であること。
（命題３の１の証明）（必要性）
Tが忠実関手であるとは、任意のi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)、任意のj ${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対してT(f${_1}$)=T(f${_2}$)なる射f${_1}$:i ${ \to }$ jと射f${_2}$:i ${ \to }$ jがとれたならばf${_1}$=f${_2}$がなりたつことである。このときC(B,g)の薄さより、T(f${_1}$)=g${_T}$${_(}$${_i}$${_)}$${_T}$${_(}$${_j}$${_)}$＝T(f${_2}$)はつねに成り立つ。よってhom(i,j)はつねに 高々一点集合であり、${\mathcal C}$は薄い圏である。
（十分性）背理法で示す。Tが忠実関手でないとすると、あるi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)とあるj ${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対してT(f${_1}$)=T(f${_2}$)だがf${_1}$${\neq}$f${_2}$なる射f${_1}$:i ${ \to }$ jと射f${_2}$:i ${ \to }$ jが存在する。このとき${\mathcal C}$が薄くない圏となり矛盾する。（命題３の１の証明終）
（命題３の２の証明） 圏${\mathcal C}$から圏C(B,g)への関手Tが充満関手であるとは、任意のg${_T}$${_(}$${_i}$${_)}$${_T}$${_(}$${_j}$${_)}$に対して、T(f)=g${_T}$${_(}$${_i}$${_)}$${_T}$${_(}$${_j}$${_)}$ となる f:i ${ \to }$ jが存在することである。また 圏${\mathcal C}$が強連結であるとは、任意のi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)、任意のj ${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対して、f:i ${ \to }$ j なる射fが存在することである。これはあきらかに同値である。（命題３の２の証明終）
命題３より、以下の補題が成り立ちます。
補題１。局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)への関手Tが圏同値である必要十分条件は、${\mathcal C}$が強連結な薄い圏かつTが本質的に全射であること。
（証明）一般に、圏${\mathcal C}$から圏${\mathcal D}$への関手Tが圏同値である必要十分条件は「Tが忠実充満関手かつ本質的に全射であること」として知られています。（ここで圏${\mathcal C}$から圏${\mathcal D}$への関手Tが本質的に全射であるとは、${\mathcal D}$の任意の対象 d に対して${\mathcal C}$のある対象 c が存在して，d と T(c) が同型対象となることです。） それを薄い圏にあてはめると得られます。（証明終）
命題３と補題１より次の命題が成り立ちます。
命題４。薄い小圏C${_A}$と薄い小圏C${_B}$が圏同値である必要十分条件は、前順序集合AとBのあいだに単調写像T:A→Bが定義され、以下を満たすこと。『「任意のi${ \in }$A、任意のj${ \in }$Aに対して i ${ \leq }$ j が成り立つ」かつ「任意のk${ \in }$B、任意のl${ \in }$Bに対して k ${ \leq }$ lが成り立つ」かつ「任意のk${ \in }$Bに対して k ${ \leq }$ T(i) かつ T(i)${ \leq }$ k なるi${ \in }$Aが存在する」』
局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)へと関手Tが定義されているとき、任意のi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対するT(i)を対象、任意のi,j${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対するg${_T}$${_(}$${_i}$${_)}$${_T}$${_(}$${_j}$${_)}$ を射とする圏T(${\mathcal C}$)を考えます。T(${\mathcal C}$)はC(B,g)の部分圏としての定義を満たしています。この定義に基づいて、次の命題が成り立ちます。
命題。局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)へと関手Tが定義されているとする。このとき、${\mathcal C}$における（左）普遍的対象iをTによって移したT(i)は、T(${\mathcal C}$)において（左）普遍的対象になる。特にTが対象の写像として全射、または本質的に全射な関手のとき、T(i)はC(B,g)において（左）普遍的対象になる。
（証明）まず、圏 $\mathcal{C}$ における（左）普遍的対象 $i$ の定義を、「$i$ による $\mathrm{Hom}$ 関手 $h^i = \mathrm{Hom}(i, -)$ と自然同型な関手 $G: \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ が存在し、各対象 $x$ と任意の$v\in G(x)$に対して 射 $f \in \mathrm{Hom}(i, x)$ が一意に存在して$G(f)(u) = v$ となること」とする。（ここで $u$ は $h^i$ の恒等射 $\mathrm{id}_i$ に対応する $G(i)$ の普遍元である）
この定義に基づいて命題を示す。
$\mathrm{Hom}(i, x) \neq \emptyset$ なる任意の$x \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ をとると、 関手の性質より像 $\mathrm{Hom}(T(i), T(x))$ も空ではない。ここで $T(\mathcal{C})$ の薄さより、この射集合は唯一つの元からなる一点集合となる。そこで
この一点集合を $G'(T(x))$ と置くことで、関手 $G': T(\mathcal{C}) \to \mathbf{Set}$ を定義する。このとき $G'$ は $T(i)$ による $\mathrm{Hom}$ 関手 $h^{T(i)} = \mathrm{Hom}(T(i), -)$と自然同型となる。
（証明）仮定より $\mathrm{Hom}$ 関手 $h^i = \mathrm{Hom}(i, -)$ と自然同型な関手 $G: \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ が存在する。すなわち任意の$x \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$に対して$\mathbf{Set}$での射
$\alpha_x:Hom(i,x) \to G(x)$が定義され、
任意の$\mathcal{C}$での射$f:x \to y$に対して
$\alpha_y \circ h^i(f)=G(f) \circ \alpha_x$が成り立つ。ここで$h^i(f):Hom(i,x) \to Hom(i,y)$の存在が保証されているのでTの関手性より$h^{T(i)}(T(f)):Hom(T(i),T(x)) \to Hom(T(i),T(y))$が存在することに注意する。
$\alpha'_{T(x)}:Hom(T(i),T(x)) \to G'(T(x))$ とすると
（実際は、G'の定義より$\alpha'_{T(x)}$は恒等射である）
$G'(T(f)):G'(T(x)) \to G'(T(y))$は$h^{T(i)}(T(f)):Hom(T(i),T(x)) \to Hom(T(i),T(y))$と同じ射であり
任意の$\mathcal{C}$での射$f:x \to y$に対して
$\alpha'_{T(y)} \circ h^{T(i)}(T(f))=G'(T(f)) \circ \alpha'_T(x)$が成り立っている。
また任意の$x \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$に対して$\alpha'_{T(x)}$の逆射$G'(T(x)) \to Hom(T(i),T(x))$ も（恒等射として）存在する。よって$G'$は$h^{T(i)}$と自然同型。（証明終）
$h^{T(i)}$ の恒等射 $\mathrm{id}_{T(i)}$ に対応する $G'(T(i))$ の普遍元をu'とする。すなわちu'は$\mathrm{id}_{T(i)}$自身。このとき
$G'(T(f)):Hom(T(i),T(x)) \to Hom(T(i),T(y))$ において
$G'(f')(u') =f'\circ \mathrm{id}_{T(i)}=f'$ なので
任意の射 $v'=g_{T(i)T(x)} \in G'(T(x))$ に対して$G'(f')(u') = v'$ を満たす射 $f'$は$v'=g_{T(i)T(x)}$自身であり、
$T(\mathcal{C})$の薄さより、これは一意である。
以上より、$T(i)$ は $T(\mathcal{C})$ における（左）普遍的対象である。
ここで、さらに $T$ が対象の写像として全射とする。このとき
任意の $b \in B$ に対して、ある $x \in \text{Ob}(\mathcal{C})$ が存在して $T(x) = b$ とできるのでTの関手性より$g_{T(i)b}=g_{T(i)T(x)}$が存在する。また
本質的に全射であるとすると、任意の $b \in B$ はある $T(x)$ と同型対象なので$g_{T(x)b}$が存在。Tの関手性より$g_{T(i)T(x)}$が存在するので$g_{T(i)b}=g_{T(x)b}\circ g_{T(i)T(x)}$が存在する。いずれにせよ$T(i)$ は $C(B, g)$ 全体においても（左）普遍的対象となる。（証明終）
注。左普遍的対象の例: 始対象、余直積、余等化子など。
命題。局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)へと関手Tが定義されているとする。ただし、Tは対象の写像として全射写像、または本質的に全射な関手であるとする。このとき、${\mathcal C}$における（右）普遍的対象iをTによって移したT(i)は、C(B,g)において（右）普遍的対象になる。
（証明）圏 $\mathcal{C}$ における（右）普遍的対象 $i$ の定義を、「$i$ による $\mathrm{Hom}$ 関手 $h^i = \mathrm{Hom}(-,i )$ と自然同型な関手 $G: \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ が存在し、各対象 $x$と任意の$v\in G(x)$ に対して $G(f)(u) = v$ となる射 $f \in \mathrm{Hom}(x, i)$ が一意に存在すること」とする。（ここで $u$ は $h^i$ の恒等射 $\mathrm{id}_i$ に対応する $G(i)$ の普遍元である）
この定義に基づいて命題を示す。
まず仮定よりTが対象の写像として全射とする。このとき、
任意の $b \in B$ に対して、ある $x \in \text{Ob}(\mathcal{C})$ が存在して $T(x) = b$ とできるのでTの関手性より$g_{bT(i)}=g_{T(x)T(i)}$が存在する。
またTが充満かつ本質的に全射な関手とする。このとき、$C(B, g)$ の中の任意の対象 $b$ は $\mathcal{C}$ のある対象 $x$をとってT(x)とbを同型対象とできる。すなわち$g_{bT(x)}$が存在。Tの関手性より$g_{T(x)T(i)}$が存在するので$g_{bT(i)}=g_{T(x)T(i)}\circ g_{bT(x)}$が存在する。
いずれにせよ任意の$b \in B$ から 適当な$x \in \text{Ob}(\mathcal{C})$をとれば$T(i)$ への射 $g_{b T(i)}$ が存在する、すなわち$\mathrm{Hom}(b, T(i))$ は空ではない。ここで $T(\mathcal{C})$ の薄さより、この射集合は唯一つの元からなる一点集合となる。そこで
この一点集合を $G'(b)$ と置くことで、関手 $G': $C(B, g)$ \to \mathbf{Set}$ を定義する。このとき $G'$ は $T(i)$ による $\mathrm{Hom}$ 関手 $h^{T(i)} = \mathrm{Hom}(-, T(i))$と自然同型となる。
（証明）$\alpha'_b:Hom(b,T(i)) \to G'(b)$ とすると
（実際は、G'の定義より$\alpha'_{b}$は恒等射である）
任意の$b_1,b_2\in B$に対して
$G'(g_{b_1b_2}):G'(b_1) \to G'(b_2)$は$h^{T(i)}(g_{b_1b_2}):Hom(b_1,T(i)) \to Hom(b_2,T(i))$と同じ射であり
$\alpha'_{b_2} \circ h^{T(i)}(g_{b_1b_2})=G'(g_{b_1b_2}) \circ \alpha'_{b_1}$が成り立っている。
また任意の$\alpha'_{b}$に対して逆射$G'(b) \to Hom(b,T(i))$ も（恒等射として）存在する。よって$G'$は$h^{T(i)}$と自然同型。（証明終）
$h^{T(i)}$ の恒等射 $\mathrm{id}_{T(i)}$ に対応する $G'(T(i))$ の普遍元をu'とする。すなわちu'は$\mathrm{id}_{T(i)}$自身。このとき
$G'(g_{b_1b_2}):Hom(b_1,T(i)) \to Hom(b_2,T(i))$ において$G'(f')(u') =f'\circ \mathrm{id}_{T(i)}=f'$ なので
任意の射 $v'=g_{bT(i)} \in G'(g_{bT(i)})$ に対して $G'(f')(u') = v'$ を満たす射 $f'$は$v'=g_{bT(i)}$自身であり、
$C(B,g)$の薄さより、これは一意である。
以上より、$T(i)$ は $C(B,g)$における（右）普遍的対象である。(証明終)
注。右普遍的対象の例: 終対象、直積、等化子など。
まとめると
命題。局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)へと関手Tが定義されているとする。ただし、Tは対象の写像として全射写像、または本質的に全射な関手であるとする。このとき、${\mathcal C}$における普遍的対象iをTによって移したT(i)は、C(B,g)において普遍的対象になる。
命題。薄い圏 $C_A = C(A, f)$ と $C_B = C(B, g)$ の間に、関手 $T: C_A \to C_B$ が定義されているとする。ただし対象間の写像$T: A \to B$ は単射であるとする。
このとき、像 $T(C_A)$ から $C_A$ への対応を
対象については$T'(T(i)) = i,$ 射については$T'(g_{T(i), T(j)}) = f_{i,j}$
で定めると、これは関手となり、$T$ は $T'$ の左随伴関手（$T \dashv T'$）となる。
(証明)
まず、関手 $T: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ が $T': \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ の左随伴関手であることの定義を、随伴の単位（普遍射）を用いて以下のように与える。
「任意の対象 $c \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対して、次の2条件を満たすペア $(T(c), \eta_c)$ が存在すること。
1.$\eta_c: c \to T'(T(c))$ は $\mathcal{C}$ における射である。
2.任意の対象 $d \in \mathrm{Ob}(\mathcal{D})$ と、任意の射 $f: c \to T'(d)$ に対して、$\mathcal{D}$ における射 $h: T(c) \to d$ がただ一つ存在して、$f = T'(h) \circ \eta_c$ を満たす。」
本命題において、$\mathcal{C} = C_A, \mathcal{D} = T(C_A)$ とし、上記定義に基づき証明を行う。
- 随伴の単位 $\eta$ の存在
任意の $i \in A$ に対して、$T$ の対象に関する単射性より $T'(T(i)) = i$ は一意に定まる。
このとき、$\eta_i: i \to T'(T(i))$ は恒等射 $\mathrm{id}_i: i \to i$ として与えられる。$C_A$ は圏であるため恒等射は必ず存在し、これは $C_A$ の射である。 - 普遍性（一意分解性）の確認
任意の $d \in \mathrm{Ob}(T(C_A))$ と、射 $f: i \to T'(d)$ を考える。
像の定義より、$d = T(j)$ となる $j \in A$ が存在し、$T'$ の定義から $T'(d) = j$ である。したがって、与えられた射は $f: i \to j$ である。
このとき、射 $h: T(i) \to T(j)$ が $T(C_A)$ に存在すれば、関手 $T'$ の射に関する定義 $T'(g_{T(i), T(j)}) = f_{i,j}$ より、
$$T'(h) \circ \eta_i = f_{i,j} \circ \mathrm{id}_i = f_{i,j} = f$$
が成り立つ。 - 一意性の確認
射 $h: T(i) \to d$ の一意性は、 $T(C_A)$ が薄い圏であることから成立する。
以上より、恒等射を単位とする随伴関係 $T \dashv T'$ が示された。
（証明終）
注。上命題において、$C_A $ と $C_B$ が骨格的な小圏（AとBが半順序集合）のとき、TとT'はガロア接続になっています。
次に局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)へと、関手Tと関手T'が定義されているとします。
このとき 任意のi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対して ${\tau}$${ _T}$${ _{T'}}$:={${\tau}$${ _i}$:=g${_T}$${_(}$${_i}$${_)}$${_{T'}}$${_(}$${_i}$${_)}$ }${_i}$${ _\in }$${_O}$${_b}$${_(}$${_C}$${_)}$ は関手Tから関手T'への自然変換、各${\tau}$${ _i}$はその成分（component）となっており、逆に関手Tから関手T'への自然変換は(存在するなら)これのみです。
（証明）任意のi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)、任意のj${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対して 「T'(f${_i}$${_j}$)${ \circ }$g${_k}$${_l}$=g${_m}$${_n}$${ \circ }$T(f${_i}$${_j}$) ${ \Leftrightarrow }$ g${_{T'}}$${_(}$${_i}$${_)}$${_{T'}}$${_(}$${_j}$${_)}$${ \circ }$g${_k}$${_l}$=g${_m}$${_n}$${ \circ }$g${_T}$${_(}$${_i}$${_)}$${_T}$${_(}$${_j}$${_)}$ ${ \Leftrightarrow }$ k=T(i) かつ l=T'(i) かつ m=T(j) かつ n=T'(j) ${ \Leftrightarrow }$ g${_k}$${_l}$=${\tau}$${ _i}$ かつ g${_m}$${_n}$=${\tau}$${ _j}$」 による。 （証明終）
TからT'への自然変換全体をNat (T, T')で表すと、Nat (T, T')={${\tau}$${ _T}$${ _{T'}}$} となります。
また各${\tau}$${ _i}$=g${_T}$${_(}$${_i}$${_)}$${_{T'}}$${_(}$${_i}$${_)}$ が逆射 g${_{T'}}$${_(}$${_i}$${_)}$${_T}$${_(}$${_i}$${_)}$ を持つとき
${\tau}$${ _T}$${ _{T'}}$は自然同型（TとT'が関手として同型）になります。
${\tau}$${ _T}$${ _{T'}}$は関手TとT'の二項演算とみなせるので、 局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)への関手をあつめたものを${\Phi}$と置くと、薄い圏
C(${\Phi}$,{${\tau}$${ _T}$${ _{T'}}$}${_T}$${ _\in }$${_\Phi}$,${_{T'}}$${ _\in }$${_\Phi}$) が考えられます。 射の合成は ${\tau}$${ _{T'}}$${ _{T''}}$${ \circ }$${\tau}$${ _T}$${ _{T'}}$ = ${\tau}$${ _T}$${ _{T''}}$ で定義されます。 これは、局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)への関手圏[${\mathcal C}$, C(B,g)]そのものです。
