薄い圏の考察(3)．局所的小圏から薄い圏への関手、自然変換、関手圏.

　局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)への関手を考えます。
　このとき、次の命題が成り立ちます。

命題１。　局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)に、関手Fが定義される必要十分条件は、写像F：Ob(${\mathcal C}$) ${ \to }$ Bが定義されていること。

(証明)必要性は明らかなので、十分性を示します。
　写像F：Ob(${\mathcal C}$) ${ \to }$ Bが定義されている、すなわち任意のi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対して、ただひとつのF(i)${ \in }$Bがとれるとします。　このとき任意のi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)、任意のj${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対して 圏C${_B}$での射 g${_F}$${_(}$${_i}$${_)}$${_F}$${_(}$${_j}$${_)}$ がとれます。
　そこで圏${\mathcal C}$での射を集めた類をhom(${\mathcal C}$)としたとき 対応　F : hom(${\mathcal C}$) ${ \to }$ hom(C${_B}$) を F(f:i ${ \to }$ j) := g${_F}$${_(}$${_i}$${_)}$${_F}$${_(}$${_j}$${_)}$　で定義すると、Fは写像となっています。
（証明）hom(${\mathcal C}$)において、射f${_1}$:i ${ \to }$ jと射f${_2}$:k ${ \to }$ l が同じとすると　i=kかつj＝l なので、F(i)=F(k)かつF(j)＝F(l)。 薄い圏での射の一意性より g${_F}$${_(}$${_i}$${_)}$${_F}$${_(}$${_j}$${_)}$=g${_F}$${_(}$${_k}$${_)}$${_F}$${_(}$${_l}$${_)}$が成り立つので　F(f${_1}$)=F(f${_2}$)。　（証明終）

　またこのときF : hom(${\mathcal C}$) ${ \to }$ hom(C${_B}$) は演算${ \circ }$を保ち、かつ恒等射を恒等射に移します。
（証明） F(f${_2}$:j ${ \to }$ m)${ \circ }$F(f${_1}$:i ${ \to }$ j) =g${_F}$${_(}$${_j}$${_)}$${_F}$${_(}$${_m}$${_)}$${ \circ }$g${_F}$${_(}$${_i}$${_)}$${_F}$${_(}$${_j}$${_)}$=g${_F}$${_(}$${_i}$${_)}$${_F}$${_(}$${_m}$${_)}$=F(f${_2}$${ \circ }$f${_1}$:i ${ \to }$ m)。 またF(f:i ${ \to }$ i)=g${_F}$${_(}$${_i}$${_)}$${_F}$${_(}$${_i}$${_)}$ 。 （証明終）（以上より命題の証明終）

　この命題から以下の命題が得られます。

命題２。薄い小圏C${_A}$から薄い小圏C${_B}$への関手Fが定義されている必要十分条件は、本質的に全順序な集合Aと本質的に半順序な集合Bのあいだに、単調写像Fが定義されていること。

　注。ここで半順序集合Aが全順序集合であるとは任意のi${ \in }$A、任意のj${ \in }$Aに対して関係　i${  \leq }$j　が成り立つことです。また半順序集合Aと半順序集合Bのあいだに単調写像Fが定義されているとは、i${  \leq }$j　ならば　F(i)${  \leq }$F(j)　がなりたつことです。

（証明）例５に命題１を適用すると得られます。（証明終）

　局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)への関手Fについては、さらに以下の命題が成立します。

命題３の１．Fが忠実関手である必要十分条件は、${\mathcal C}$が薄い圏であること。
命題３の２．Fが充満関手である必要十分条件は、${\mathcal C}$が強連結であること。

（命題３の１の証明）（必要性）
　Fが忠実関手であるとは、任意のi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)、任意のj ${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対してF(f${_1}$)=F(f${_2}$)なる射f${_1}$:i ${ \to }$ jと射f${_2}$:i ${ \to }$ jがとれたならばf${_1}$=f${_2}$がなりたつことである。このときC(B,g)の薄さより、F(f${_1}$)=g${_F}$${_(}$${_i}$${_)}$${_F}$${_(}$${_j}$${_)}$＝F(f${_2}$)はつねに成り立つ。よってhom(i,j)はつねに 高々一点集合であり、${\mathcal C}$は薄い圏である。
（十分性）背理法で示す。Fが忠実関手でないとすると、あるi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)とあるj ${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対してF(f${_1}$)=F(f${_2}$)だがf${_1}$${\neq}$f${_2}$なる射f${_1}$:i ${ \to }$ jと射f${_2}$:i ${ \to }$ jが存在する。このとき${\mathcal C}$が薄くない圏となり矛盾する。（命題３の１の証明終）

（命題３の２の証明） 　圏${\mathcal C}$から圏C(B,g)への関手Fが充満関手であるとは、任意のg${_F}$${_(}$${_i}$${_)}$${_F}$${_(}$${_j}$${_)}$に対して、F(f)=g${_F}$${_(}$${_i}$${_)}$${_F}$${_(}$${_j}$${_)}$ となる　f:i ${ \to }$ jが存在することである。また 　　圏${\mathcal C}$が強連結であるとは、任意のi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)、任意のj ${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対して、f:i ${ \to }$ j　なる射fが存在することである。これはあきらかに同値である。（命題３の２の証明終）

　命題３より、以下の補題が成り立ちます。

補題１。局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)への関手Fが圏同値である必要十分条件は、${\mathcal C}$が強連結な薄い圏かつFが本質的に全射であること。

（証明）一般に、圏${\mathcal C}$から圏${\mathcal D}$への関手Fが圏同値である必要十分条件は「Fが忠実充満関手かつ本質的に全射であること」として知られています。（ここで圏${\mathcal C}$から圏${\mathcal D}$への関手Fが本質的に全射であるとは、${\mathcal D}$の任意の対象 d に対して${\mathcal C}$のある対象 c が存在して，d と F(c) が同型対象となることです。） 　それを薄い圏にあてはめると得られます。（証明終）

　命題２と補題１より次の命題が成り立ちます。

命題３。薄い小圏C${_A}$と薄い小圏C${_B}$が圏同値である必要十分条件は、本質的に全順序な集合Aと本質的に半順序な集合Bのあいだに、本質的に全射な単調写像Fが定義されていること。

　さらに以下のような関手を考えます。

定義。例４で見た局所小圏${\mathcal C}$と薄い圏C(Ob(${\mathcal C}$),ｈ)のあいだには、写像T(i):=i と写像T(f:i ${ \to }$ j):=h${_i}$${_j}$=hom( i , j )　 (i,j${ \in }$Ob(${\mathcal C}$))　で定まる関手Tがあります。Tが関手となるのは、命題１よりわかります。
　以後C(Ob(${\mathcal C}$),ｈ)を、${\mathcal C}$を薄くした圏とよび、T(${\mathcal C}$)と書きます。またTを、圏を薄くする関手とよびます。 　

　T(${\mathcal C}$)は圏${\mathcal C}$の特徴の多くを保存します。たとえば、次の定理が成り立ちます。

定理１。局所小圏${\mathcal C}$と局所小圏${\mathcal D}$が圏同値ならば、それらを薄くした圏T(${\mathcal C}$)とT(${\mathcal D}$)も圏同値となる。

（証明）局所小圏${\mathcal C}$から${\mathcal D}$への関手をFとする。このときそれらを薄くした圏T(${\mathcal C}$)とT(${\mathcal D}$) のあいだに、写像T(F)(i):=F(i) と写像T(F)(h${_i}$${_j}$):=hom(F(i),F(j))　 (i,j${ \in }$Ob(${\mathcal C}$))　で定まる関手T(F)があります。T(F)が関手となるのは、命題１よりわかります。
　補題１より定理の主張を示すには、Fが圏同値をあたえる関手ならば T(${\mathcal C}$)が強連結な薄い圏かつT(F)が本質的に全射であることを示せばよいですが、T(${\mathcal C}$)が強連結な薄い圏になることはすでに見ました。またT(F)が本質的に全射であることは、Fが本質的に全射であることより明らかです。（証明終）

　次に局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)へと、関手Fと関手Gが定義されているとします。
　このとき 任意のi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対して ${\tau}$${ _F}$${ _G}$:={${\tau}$${ _i}$:=g${_F}$${_(}$${_i}$${_)}$${_G}$${_(}$${_i}$${_)}$ }${_i}$${ _\in }$${_O}$${_b}$${_(}$${_C}$${_)}$ は関手Fから関手Gへの自然変換、各${\tau}$${ _i}$はその成分（component）となっており、逆に関手Fから関手Gへの自然変換はこれのみです。

（証明）任意のi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)、任意のj${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対して 「G(f${_i}$${_j}$)${ \circ }$g${_k}$${_l}$=g${_m}$${_n}$${ \circ }$F(f${_i}$${_j}$) ${ \Leftrightarrow }$ g${_G}$${_(}$${_i}$${_)}$${_G}$${_(}$${_j}$${_)}$${ \circ }$g${_k}$${_l}$=g${_m}$${_n}$${ \circ }$g${_F}$${_(}$${_i}$${_)}$${_F}$${_(}$${_j}$${_)}$ ${ \Leftrightarrow }$ k=F(i) かつ l=G(i) かつ m=F(j) かつ n=G(j) 　 ${ \Leftrightarrow }$ g${_k}$${_l}$=${\tau}$${ _i}$　かつ　g${_m}$${_n}$=${\tau}$${ _j}$」　　による。　　　　（証明終）

　FからGへの自然変換全体をNat (F, G)で表すと、Nat (F, G)={${\tau}$${ _F}$${ _G}$} となります。
また各${\tau}$${ _i}$=g${_F}$${_(}$${_i}$${_)}$${_G}$${_(}$${_i}$${_)}$ 　は　逆射　g${_G}$${_(}$${_i}$${_)}$${_F}$${_(}$${_i}$${_)}$ を持つので　
${\tau}$${ _F}$${ _G}$は自然同型となります。 ${\tau}$${ _F}$${ _G}$は関手FとGの二項演算とみなせるので、 局所小圏Cから薄い圏C(B,g)への関手をあつめたものを${\Phi}$と置くと
薄い圏C(${\Phi}$,{${\tau}$${ _F}$${ _G}$}${_F}$${ _\in }$${_\Phi}$,${_G}$${ _\in }$${_\Phi}$) が考えられます。 　射の合成は ${\tau}$${ _G}$${ _H}$${ \circ }$${\tau}$${ _F}$${ _G}$ = ${\tau}$${ _F}$${ _H}$ で定義されます。 これは、局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)への関手圏[${\mathcal C}$, C(B,g)]そのものです。　

論考終。圏論の基本用語（定義など）については、主にwikipediaを参考にしました。