(sin(t) - tcos(t))^2/t^5 の積分

　タイトルの通り、
\begin{equation} I = \int\frac{(\sin(t) - t\cos(t))^2}{t^5}dt \end{equation}
を計算するだけの記事です。これが積分できるのって、ちょっと意外な気がするんですが、どうなんでしょう...。
　まず、積分の分子を展開して、半角の公式から
\begin{align} I &= \int\frac{\sin^2(t) - 2t\sin(t)\cos(t) + t^2\cos^2(t)}{t^5}dt\\ &= \frac{1}{2}\int\left[\frac{1 - \cos(2t)}{t^5} - \frac{2\sin(2t)}{t^4} + \frac{(1 + \cos(2t))}{t^3}\right]dt\\ \end{align}
$[]$の中について、第一項を部分積分すると、
\begin{align} \int\frac{1 - \cos(2t)}{t^5}dt = -\frac{1 - \cos(2t)}{4t^4} + \frac{1}{2}\int\frac{\sin(2t)}{t^4}dt \end{align}
この第二項と$I$の第二項の和を再び部分積分すると
\begin{align} -\frac{3}{2}\int\frac{\sin(2t)}{t^4}dt = \frac{\sin(2t)}{2t^3} - \int\frac{\cos(2t)}{t^3}dt \end{align}
右辺は$I$の第三項と一部相殺してくれて、積分できる項だけが残る。
\begin{align} I &= \frac{1}{2}\left[-\frac{1 - \cos(2t)}{4t^4} + \frac{\sin(2t)}{2t^3} + \int\frac{1}{t^3}dt\right]\\ &= \frac{2t\sin(2t) + \cos(2t) - 2t^2 - 1}{8t^4} + C \end{align}
これで求まった。$t\to0$で第一項は収束して$-1/4$となるので、
\begin{align} \int_0^t\frac{(\sin(t) - t\cos(t))^2}{t^5}dt = \frac{2t\sin(2t) + \cos(2t) + 2t^4 - 2t^2 - 1}{8t^4} \end{align}
である。
　結果的には、部分積分すると積分できない項が打ち消されるだけではあるんですが、やっぱり打ち消される瞬間は気持ちいいですね。