自己紹介・記録解説

ゼータ関数の素数バージョンについて

級数

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初めての投稿なので雑かもです

素数ゼータ関数

素数ゼータ関数を定義する

素数ゼータ関数

$ξ$ (s):= $\sum_{p : p r i m e}^{\infty}$ $p^{- s}$

すると以下は自明です。

素数ゼータ関数とリーマンゼータ関数

$ξ$ (s) $\leq$ $ζ (s)$

証明手法

$ξ (s) =$ $\sum_{p : p r i m e}^{\infty}$ $p^{- s}$
$ζ (s) =$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $n^{- s}$
素数の個数は整数の個数より少ないため
$ξ$ (s) $<$ $ζ (s)$ となる

以下も自明です

ξ (1) = \infty

$ξ (1) = \infty$ である

素数ゼータの和

$ξ (s) + ξ (2 s) = \sum_{p : p r i m e}^{\infty} \frac{p^{s} + 1}{p^{2 s}}$

導出

$ξ (s) + ξ (2 s) = \sum_{p : p r i m e}^{\infty} \frac{1}{p^{2 s}} + \frac{1}{p^{s}}$
$= \sum_{p : p r i m e}^{\infty} \frac{1}{p^{2 s}} + \frac{p^{s}}{p^{2 s}}$
$= \sum_{p : p r i m e}^{\infty} \frac{p^{s} + 1}{p^{2 s}}$

一応テイラー展開してみた結果が↓

素数ゼータのテイラー展開

$ξ (s) = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{p} \frac{(s - a)^{n} \log^{n} (p)}{n! \cdot p^{a}}$
ただし $a$ を任意の実数とする

$ξ (s) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(s - a)^{n}}{n!} ξ^{(n)} (a)$ テイラー展開するとこうなる
$ξ^{(n)} (s) = \sum_{p} \frac{\log^{n} (p)}{p^{s}}$ 素数ゼータ関数を $n$ 回微分した結果はこうなる
代入すると
$ξ (s) = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{p} \frac{(s - a)^{n} \log^{n} (p)}{n! \cdot p^{a}}$ が得られる

予想

素数ゼータ関数の値の近似値

$ξ (s) \leq \frac{2^{s} + 3^{s}}{6^{s}} + \sum_{n = 1}^{\infty} (36 n^{2} - 1)^{- s}$ $((6 n + 1)^{s} + (6 n - 1)^{s}) \leq ζ (s)$

導出

$6 n \pm 1$ 以外の素数は $2, 3$ だけなので6n+1と6n-1での無限の総和を求めることで近似ができる（と思う）

$ξ (s) \leq \frac{2^{s} + 3^{s}}{6^{s}} + \sum_{n = 1}^{\infty} (6 n + 1)^{- s} + \sum_{n = 1}^{\infty} (6 n - 1)^{- s}$
$= \frac{2^{s} + 3^{s}}{6^{s}} + \sum_{n = 1}^{\infty} (6 n + 1)^{- s} + (6 n - 1)^{- s}$
$= \frac{2^{s} + 3^{s}}{6^{s}} + \sum_{n = 1}^{\infty} ((6 n + 1)^{s} + (6 n - 1)^{s}) (6 n + 1)^{- s} \cdot (6 n - 1)^{- s}$
$= \frac{2^{s} + 3^{s}}{6^{s}} + \sum_{n = 1}^{\infty} ((6 n + 1)^{s} + (6 n - 1)^{s}) (36 n - 1)^{- s}$