ゼータ関数の素数バージョンについて適当に書く
初めての投稿なので雑 かも です
素数ゼータ関数
素数ゼータ関数を定義する
$\xi$(s):=$\sum_{p:prime}^{\infty}$$p^{-s}$
すると以下は自明です。
$\xi$(s)$ \leq $$\zeta(s)$
$\xi(s)=$$\sum_{p:prime}^{\infty}$$p^{-s}$
$\zeta(s)=$$\sum_{n=1}^{\infty}$$n^{-s}$
素数の個数は整数の個数より少ないため
$\xi$(s)$\lt$$\zeta(s) $となる
以下も自明です
$\xi(1)=\infty$である
$\xi(s)+\xi(2s)= \sum_{p:prime}^{\infty} \frac{p^{s}+1}{p^{2s}} $
導出
$\xi(s)+\xi(2s)= \sum_{p:prime}^{\infty} \frac{1}{p^{2s}}+\frac{1}{p^{s}} $
$=\sum_{p:prime}^{\infty} \frac{1}{p^{2s}}+\frac{p^{s}}{p^{2s}} $
$=\sum_{p:prime}^{\infty} \frac{p^{s}+1}{p^{2s}} $
一応テイラー展開してみた結果が↓
$\xi(s)= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{p} \frac{(s-a)^{n} \log^{n}(p) }{n! \cdot p^{a}} $
ただし$a $を任意の実数とする
$\xi(s)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(s-a)^{n}}{n!}\xi^{(n)}(a) $テイラー展開するとこうなる
$\xi^{(n)}(s)= \sum_{p} \frac{\log^{n}(p)}{p^{s}} $素数ゼータ関数を$n$回微分した結果はこうなる
代入すると
$\xi(s)= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{p} \frac{(s-a)^{n} \log^{n}(p) }{n! \cdot p^{a}} $が得られる
予想
$\xi(s) \leq \frac{2^{s}+3^{s}}{6^{s}}+ \sum_{n=1}^{\infty} (36n^{2}-1)^{-s}$ $((6n+1)^{s}+(6n-1)^{s}) \leq \zeta(s)$
導出
$6n \pm 1$以外の素数は$2,3$だけなので6n+1と6n-1での無限の総和を求めることで近似ができる（と思う）
$\xi(s) \leq \frac{2^{s}+3^{s}}{6^{s}}+\sum_{n=1}^{\infty} (6n+1)^{-s}+\sum_{n=1}^{\infty} (6n-1)^{-s} $
$=\frac{2^{s}+3^{s}}{6^{s}}+\sum_{n=1}^{\infty} (6n+1)^{-s}+(6n-1)^{-s} $
$=\frac{2^{s}+3^{s}}{6^{s}}+\sum_{n=1}^{\infty} ((6n+1)^{s}+(6n-1)^{s})(6n+1)^{-s} \cdot (6n-1)^{-s} $
$=\frac{2^{s}+3^{s}}{6^{s}}+\sum_{n=1}^{\infty} ((6n+1)^{s}+(6n-1)^{s})(36n-1)^{-s}$
$\frac{2^{s}+3^{s}}{6^{s}}+ \sum_{n=1}^{\infty} (36n^{2}-1)^{-s}$ $((6n+1)^{s}+(6n-1)^{s})$が得られる
素数ゼータ関数の値の近似値が正しければ
$\xi(2) \simeq 0.47772 $
$\xi(3) \simeq 0.17488 $
$\xi(4) \simeq 0.077 $
となる
終わりに
ゼータの素数考えたらおもろくね？って思って作りました
自分の考えだけではこれが限界でした
これが初かな？調べても出てこないし.. ←あるじゃん
「prime zeta」で出てくるようです