発想ゲー極限

発想いらないやり方（大変）

まず全ての実数$x$に対して

${\displaystyle 1-\frac{x^2}{2!}\leqq \cos x\leqq 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\cdots \text{常識}}$

が成り立つ。常識なので証明はしない。

常識より${\displaystyle x=\frac{a}{n}}$を代入して

${\displaystyle 1-\frac{a^2}{2n^2}\leqq \cos \frac{a}{n}\leqq 1-\frac{12a^2{n}^2-a^2}{24n^4}}$

$n$が十分に大きい時全て$0$以上なので十分に大きいものとして

${\displaystyle (1-\frac{a^2}{2n^2}{)}^{n^2}\leqq (\cos \frac{a}{n}{)}^{n^2}\leqq (1-\frac{12a^2{n}^2-a^2}{24n^4}{)}^{n^2}}$

$n\to \mathrm{\infty }$として

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (1-\frac{a^2}{2n^2}{)}^{n^2}}& =(1-\frac{a^2}{2n^2}{)}^{-\frac{2n^2}{a^2}\cdot -\frac{a^2}{2}}\\ & =e^{-\frac{a^2}{2}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (1-\frac{12a^2{n}^2-a^2}{24n^4}{)}^{n^2}}& =(1-\frac{12a^2{n}^2-a^2}{24n^4}{)}^{-\frac{24n^4}{12a^2{n}^2-a^4}\cdot -\frac{12a^2{n}^2-a^4}{24n^2}}\\ & =e^{-\frac{12a^2{n}^2-a^4}{24n^2}}\\ & =e^{-\frac{a^2}{2}+\frac{a^4}{24n^2}}\\ & =e^{-\frac{a^2}{2}}\cdot e^{\frac{a^4}{24n^2}}\\ & =e^{-\frac{a^2}{2}}(\because n\to \mathrm{\infty }⟹e^{\frac{a^4}{24n^2}}\to 1)\end{array}$$

はさみうちの原理より$n\to \mathrm{\infty }$において
${\displaystyle (\cos \frac{a}{n}{)}^{n^2}=e^{-\frac{a^2}{2}}}$

であるので両辺自然対数を取れば

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2(\cos \frac{a}{n})=-\frac{a^2}{2}◼}$

発想いるやり方（思いつかないと無理）

$n\to \mathrm{\infty }$において
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (\cos \frac{a}{n}{)}^{n^2}}& =(1-(1-\cos \frac{a}{n}){)}^{-\frac{1}{1-\cos \frac{a}{n}}\cdot -(1-\cos \frac{a}{n})\cdot n^2}\\ & =e^{-(1-\cos \frac{a}{n})\cdot n^2}(\because n\to \mathrm{\infty }⟹1-\cos \frac{a}{n}\to 0)\\ & =e^{-\frac{1-{\cos }^2\frac{a}{n}}{1+\cos \frac{a}{n}}\cdot n^2}\\ & =e^{-\frac{{\sin }^2\frac{a}{n}}{1+\cos \frac{a}{n}}\cdot n^2}\\ & =e^{-\frac{{\sin }^2\frac{a}{n}}{1+\cos \frac{a}{n}}\cdot (\frac{n}{a}{)}^2\cdot (\frac{a}{n}{)}^2\cdot n^2}\\ & =e^{-\frac{a^2}{2}}(\because n\to \mathrm{\infty }⟹(\sin \frac{a}{n})\cdot \frac{n}{a}\to 1)\end{array}$$

であるので両辺自然対数取れば

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2(\cos \frac{a}{n})=-\frac{a^2}{2}◼}$