発想ゲー極限

発想いらないやり方（大変）

まず全ての実数$x$に対して

$\displaystyle 1-\frac{x^2}{2!}\leqq\cos x\leqq 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\cdots\text{常識}$

が成り立つ。常識なので証明はしない。

常識より$\displaystyle x=\frac{a}{n}$を代入して

$\displaystyle 1-\frac{a^2}{2n^2} \leqq \cos\frac{a}{n} \leqq 1-\frac{12a^2n^2-a^2}{24n^4}$

$n$が十分に大きい時全て$0$以上なので十分に大きいものとして

$\displaystyle \Big(1-\frac{a^2}{2n^2}\Big)^{n^2} \leqq \Big(\cos\frac{a}{n}\Big)^{n^2} \leqq \Big(1-\frac{12a^2n^2-a^2}{24n^4}\Big)^{n^2}$

$n\to\infty$として

\begin{align}\displaystyle \Big(1-\frac{a^2}{2n^2}\Big)^{n^2} &= \Big(1-\frac{a^2}{2n^2}\Big)^{-\frac{2n^2}{a^2}\cdot-\frac{a^2}{2}} \\ &= e^{-\frac{a^2}{2}} \\ \end{align}

\begin{align}\displaystyle \Big(1-\frac{12a^2n^2-a^2}{24n^4}\Big)^{n^2} &= \Big(1-\frac{12a^2n^2-a^2}{24n^4}\Big)^{-\frac{24n^4}{12a^2n^2-a^4}\cdot-\frac{12a^2n^2-a^4}{24n^2}} \\ &= e^{-\frac{12a^2n^2-a^4}{24n^2}} \\ &= e^{-\frac{a^2}{2}+\frac{a^4}{24n^2}} \\ &= e^{-\frac{a^2}{2}}\cdot e^{\frac{a^4}{24n^2}} \\ &= e^{-\frac{a^2}{2}} \qquad \Big(\because n\to\infty \Longrightarrow e^{\frac{a^4}{24n^2}}\to 1\Big) \end{align}

はさみうちの原理より$n\to\infty$において
$\displaystyle\Big(\cos\frac{a}{n}\Big)^{n^2}=e^{-\frac{a^2}{2}}$

であるので両辺自然対数を取れば

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2\Big(\cos\frac{a}{n}\Big)=-\frac{a^2}{2}\qquad\blacksquare$

発想いるやり方（思いつかないと無理）

$n\to\infty$において
\begin{align}\displaystyle \Big(\cos\frac{a}{n}\Big)^{n^2} &= \Big(1-\Big(1-\cos\frac{a}{n}\Big)\Big)^{-\frac{1}{1-\cos\frac{a}{n}}\cdot-\Big(1-\cos\frac{a}{n}\Big)\cdot n^2} \\ &= e^{-\Big(1-\cos\frac{a}{n}\Big)\cdot n^2}\qquad\Big(\because n\to\infty \Longrightarrow 1-\cos\frac{a}{n}\to 0\Big)\\ &= e^{-\frac{1-\cos^2\frac{a}{n}}{1+\cos\frac{a}{n}}\cdot n^2} \\ &= e^{-\frac{\sin^2\frac{a}{n}}{1+\cos\frac{a}{n}}\cdot n^2} \\ &= e^{-\frac{\sin^2\frac{a}{n}}{1+\cos\frac{a}{n}}\cdot \big(\frac{n}{a}\big)^2\cdot\big(\frac{a}{n}\big)^2\cdot n^2}\\ &= e^{-\frac{a^2}{2}} \qquad\Big(\because n\to\infty \Longrightarrow \Big(\sin\frac{a}{n}\Big)\cdot\frac{n}{a}\to1) \end{align}

であるので両辺自然対数取れば

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2\Big(\cos\frac{a}{n}\Big)=-\frac{a^2}{2}\qquad\blacksquare$