自分なりのカークマンシステム

前に記事を書いたシュタイナートリプルシステムシステムは
$n^{2}+n+1$人から$n+1$人ずつのグループを作り、
自分以外の全員に対して、同じ人と一度しか組まない組み合わせです。
今回はコレを分解可能にできるカークマントリプルシステムの組み立て方を紹介してみたいと思います。

カークマントリプルシステム

シュタイナーシステムが有限射影平面を基にしてるのに対して
カークマンシステムは有限アフィン平面を基にしています。

私が今回記事に書く射影平面、アフィン平面は共にデザルグ平面と呼ばれています。他にも非デザルグ平面と呼ばれるものが数種類ありますが、ここでは長くなるのでやめときます。

しかしアフィン平面ならば射影平面に変換できます。
今回紹介するカークマンシステムは
$p^{2}$人から$p$人ずつの$p$個のグループを$p+1$個に分解できます。
因みに$p$は素数です。

本当は素数じゃなくてもできる場合があるのですが、その場合の一般的な組み立て方法も証明もわかりません。
なので位数が素数の場合の条件付きで今回私が発見した作成方法を書きたいと思います。

まず$p$の平方形のブロックに$1$から$p^{2}$までの数字を入れて、左上の$1$を中心に縦と横と斜めの直線で引いた数をグループとします。
$0$列$0$行から$(p-1)$列$(p-1)$行の$p$のブロック。※横（行→）$y$、 縦（列↓）$x$とします。
$【p^{2}ブロック】p=5$の場合、
縦
${1,6,11,16,21}$
${2,7,12,17,22}$
${3,8,13,18,23}$
${4,9,14,19,24}$
${5,10,15,20,25}$
横
${1,2,3,4,5}$
${6,7,8,9,10}$
${11,12,13,14,15}$
${16,17,18,19,20}$
${21,22,23,24,25}$

そして残りの数の斜めを引いていきます。
（斜めだと途中で数が足りなくなるので、$p^{n}$ブロックを横に足していきます）
※実際にブロックデザインを作成するときは$p^{n}$ブロックの中だけで線を引く方が楽です。
斜線$y=x$
${1,7,13,19,25}$
${2,8,14,20,21}$
${3,9,15,16,22}$
${4,10,11,17,23}$
${5,6,12,18,24}$
斜線$y=2x$
${1,8,15,17,24}$
${2,9,11,18,25}$
${3,10,12,19,21}$
${4,6,13,20,22}$
${5,7,14,16,23}$
斜線$y=3x$
${1,9,12,20,23}$
${2,10,13,16,24}$
${3,6,14,17,25}$
${4,7,15,18,21}$
${5,8,11,19,22}$
斜線$y=4x$
${1,10,14,18,22}$
${2,6,15,19,23}$
${3,7,11,20,24}$
${4,8,12,16,25}$
${5,9,13,17,21}$
縦横の$2$と角度別の斜線$p-1$を足して$p+1$個に分解できます。

図を見てわかる通り縦横は一目瞭然ですが、
斜めでは何故ほかの数字と被らないか気になります。

$1,1$から出る斜線が$2,2$から$p,p$までのブロックに他と被らず線が当たるか自分なりに証明しました。

九九なので倍数間隔で構築できたお陰で、斜線ブロックの画像を見てわかる通り左$1$列から右$(p-1)$列で$p$を法として$1,2,3$と数字の間隔が空いている。これによって各倍数ごとの$1$から$p$までの斜線の場合全て引き下しても各倍数列の数字と被らない。

つまり$p^{n}$ブロック内で一番左上のマスから$y=x$から$y=(p-1)$までの傾きの線を引いて、当たった数でブロックを組めば、アフィン平面のブロックデザインが作成できます。

要約すると縦横以外の斜め下の直線に当たるグループの作り方は$1～(p-1)$の九九の表の中で素数を法とし、すべて違う余りに$1$を足した数を参考に書き起こせばいいという事ですね。

※斜線のブロックのマスの上下の位置が『$ p^{2} $ブロック』(上下)で、
斜線のブロックのマスの中の数字が『$ p^{2} $ブロック』(左右){左から$1 \Longrightarrow p$}
として置き換える。

射影平面への変換

アフィン平面に一本の線上$p+1$の点を足して$p^{2}+p+1$射影平面になります。
縦横斜めのブロック毎に$p+1$の点を追加します。そして追加の点による線も追加したら完成です。
先程の$【p^{2}ブロック】p=5$のアフィン平面を使う。
縦
${1,6,11,16,21,26}$
${2,7,12,17,22,26}$
${3,8,13,18,23,26}$
${4,9,14,19,24,26}$
${5,10,15,20,25,26}$
横
${1,2,3,4,5,27}$
${6,7,8,9,10,27}$
${11,12,13,14,15,27}$
${16,17,18,19,20,27}$
${21,22,23,24,25,27}$
斜線$y=x$
${1,7,13,19,25,28}$
${2,8,14,20,21,28}$
${3,9,15,16,22,28}$
${4,10,11,17,23,28}$
${5,6,12,18,24,28}$
斜線$y=2x$
${1,8,15,17,24,29}$
${2,9,11,18,25,29}$
${3,10,12,19,21,29}$
${4,6,13,20,22,29}$
${5,7,14,16,23,29}$
斜線$y=3x$
${1,9,12,20,23,30}$
${2,10,13,16,24,30}$
${3,6,14,17,25,30}$
${4,7,15,18,21,30}$
${5,8,11,19,22,30}$
斜線$y=4x$
${1,10,14,18,22,31}$
${2,6,15,19,23,31}$
${3,7,11,20,24,31}$
${4,8,12,16,25,31}$
${5,9,13,17,21,31}$
追加した点による線
${26,27,28,29,30,31}$

カークマンの話

　カークマントリプルシステムを作ったイギリス人数学者トーマス・カークマンは、実は最初にシュタイナートリプルシステムを作った人でもあります。
　しかし、名前が売れておらずスイス人数学者ヤコブ・シュタイナーが再発見したことにより名前が付けられました。さらにカークマンは同国の有名数学者アーサー・ケイリーやジェームス・ジョセフ・シルベスターと折り合いが悪く、シルベスターが「この分野を作った」と主張しカークマンの業績を横取りするような事もありました。 　

カークマンの女学生問題

今回記事にしたのは$p^{2}$人から$p$人のグループを$p$個作り、$p+1$に分けることでした。
カークマンが作った最初の問題は$15$人の女学生は$3$人を$5$つのグループを作り、$7$日間に分けるとき、毎日$1$回だけ一緒に登下校する組合せを考えろという問題でした。現在これは一般化し$15$人ではなく$6n+3$人となっています。
　これも悲しい話ですが、一般化した女学生の問題はインド系アメリカ人数学者$2$人が証明しましたが、その数年前に中国人アマチュア数学者が証明していました。しかし論文を中国科学院数学研究所が「基本的に新しい結果ではなく、価値がない」という文言と一緒に不受理になりました。数年後価値に気付いて本人に賞を与えましたが、その時は教師以外でも仕事をし重労働で体に限界がきていて、$48$歳で息を引き取りました。ちなみに死後二日後にカナダのトロント大学からのお誘いのメールが届きました。
アーベル的悲劇です。

追記

一般カークマントリプルシステムは頂点の数が$6n+3$であれば必ず成り立つことを示しています。しかしそれを作成する決まりの方法が無かったので、この素数位数のカークマンシステムの作成方法を応用して頂点の数が$3^{m}$以上のアフィン空間になる場合のみの作り方を書こうと思います。

完全剰余系の基本定理で素数の累乗$p^{m} $が$aから(p-1)a$の$a$に対しても互いに素なのは明らかです。

$p$を素数として

この結果を
縦3横27
$〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇$
$〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇$
$〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇$

$⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂⒃⒄⒅⒆⒇㉑㉒㉓㉔㉕㉖㉗$
$㉘㉙㉚㉛㉜㉝㉞㉟㊱㊲㊳㊴㊵㊶㊷㊸㊹㊺㊻㊼㊽㊾㊿………54$
$55565758596061626364656667686970717273…………81$
に、この横並びの数字対して先程示した縦3横3、それを基に縦3横9のカークマンシステムを使う。

$p^{n}$個のアフィン空間の横線（横並び頂点）のブロック作成の手順は、
⑴,$p^{2}$個に区切って行列にして、区切った各行列で$p^{2}$個アフィン平面を作る。
さらに各アフィン平面で同じ角度の直線同士のブロックを作る。
⑵,$p^{3}$個に区切って行$p$列$p^{2}$の行列を作り、真下と角度別斜めの線を引く。
各行列で同じ角度の直線同士のブロックを作る。
⑶,⑵と同じ作業を行$p$列$p^{n-1}$個の行列まで繰り返します。
⑷,$p^{2}$の行列(アフィン平面)から$p^{n-1}$の行列にかけて作った、同じ角度の直線同士のブロックが行$p$列$p^{n}$のアフィン空間の各行のアフィン空間のブロックデザインです。
縦pは固で横並びの数字が$3^{m}$づつ増えます。

射影空間に変換

射影空間$ p^{n}+p^{n-1}+p^{n-2}+…+p^{2}+p^{1}+1$に変換するには
$n$次元アフィン空間$【p^{n}】$に一つの$(n-1)$次元射影空間$【p^{n-1}+p^{n-2}+…+p^{2}+p^{1}+1】$を挿入する事です。これも射影平面から$n$次元射影空間のブロックデザインを再帰的に作成できるのがわかります。

カークマンの女学生問題は位数2、次元3の射影空間だと後に証されました。

今回紹介した方法で示してみます。

上で示した位数2、次元3のアフィン空間を射影空間にします。