前に記事を書いたシュタイナートリプルシステムシステムは
自分以外の全員に対して、同じ人と一度しか組まない組み合わせです。
今回はコレを分解可能にできるカークマントリプルシステムの組み立て方を紹介してみたいと思います。
シュタイナーシステムが有限射影平面を基にしてるのに対して
カークマンシステムは有限アフィン平面を基にしています。
しかしアフィン平面ならば射影平面に変換できます。
今回紹介するカークマンシステムは
因みに
本当は素数じゃなくてもできる場合があるのですが、その場合の一般的な組み立て方法も証明もわかりません。
なので位数が素数の場合の条件付きで今回私が発見した作成方法を書きたいと思います。
まず
縦
横
そして残りの数の斜めを引いていきます。
(斜めだと途中で数が足りなくなるので、
※実際にブロックデザインを作成するときは
斜線
斜線
斜線
斜線
縦横の
図を見てわかる通り縦横は一目瞭然ですが、
斜めでは何故ほかの数字と被らないか気になります。
斜線が他と被らず線が当たるか自分なりに証明しました。
斜線の傾きの違いにより、素数の特性を使い、ブロックごとに被りません。
倍数ごとの角度違いの斜線
もし列と行で
九九の表
九九の表になるため左上からの斜線を基準に対称になる。よって同値になる可能性は斜めにある値であって、縦、横の値は被らない。
素数は
完全剰余系の基本定理により
縦横の数字が異なるラテン方格になります。
よって倍数により角度の違う
(p-1)個の斜線すべてで異なることが分かります。
一番左上のマスの
これを各倍数(列)ごとの
つまり
この斜線のブロックの列の並びがグループになります。
これら斜線のブロックに縦横の直線
a、n が互いに素であるとするとき、n−1個の相異なる整数
1a、2a、3a、· · ·、(n −1)a
をnで割った余りは、1 からn-1までの全ての整数が
1回ずつすべて (順不同で) 現れる。
アフィン平面に一本の線上
縦横斜めのブロック毎に
先程の
縦
横
斜線
斜線
斜線
斜線
追加した点による線
カークマントリプルシステムを作ったイギリス人数学者トーマス・カークマンは、実は最初にシュタイナートリプルシステムを作った人でもあります。
しかし、名前が売れておらずスイス人数学者ヤコブ・シュタイナーが再発見したことにより名前が付けられました。さらにカークマンは同国の有名数学者アーサー・ケイリーやジェームス・ジョセフ・シルベスターと折り合いが悪く、シルベスターが「この分野を作った」と主張しカークマンの業績を横取りするような事もありました。
今回記事にしたのは
カークマンが作った最初の問題は
これも悲しい話ですが、一般化した女学生の問題はインド系アメリカ人数学者
アーベル的悲劇です。
一般カークマントリプルシステムは頂点の数が
完全剰余系の基本定理で素数の累乗
列の数は斜線に対称なので被らない。
これで縦p横p^{n}の斜線ブロックが作れる。
カークマンシステムの元になる
アフィン平面
〇〇〇 〇〇〇 〇〇〇
〇〇〇 〇〇〇 〇〇〇
〇〇〇 〇〇〇 〇〇〇
123 101112 192021
456 131415 222324
789 161718 252627
の頂点に縦横に線を引きそして斜線は上で示した九九の表を用いた方法で示せますが、縦3横9
〇〇〇〇〇〇〇〇〇
〇〇〇〇〇〇〇〇〇
〇〇〇〇〇〇〇〇〇
の場合は縦線と斜線はできても横線ができません。
しかし通常の位数
そして数字をはめて
⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼
⑽⑾⑿⒀⒁⒂⒃⒄⒅
⒆⒇㉑㉒㉓㉔㉕㉖㉗
として、上で示した方法で作成すると
縦線
斜線y=x
斜線y=2x
斜線y=3x
斜線y=4x
斜線y=5x
斜線y=6x
斜線y=7x
斜線y=8x
横線(アフィン平面
横線(アフィン平面
横線(アフィン平面
横線(アフィン平面
と表わせます。
この結果を
縦3横27
に、この横並びの数字対して先程示した縦3横3、それを基に縦3横9のカークマンシステムを使う。
⑴,
さらに各アフィン平面で同じ角度の直線同士のブロックを作る。
⑵,
各行列で同じ角度の直線同士のブロックを作る。
⑶,⑵と同じ作業を列(縦)
⑷,
縦pは固で横並びの数字が
射影空間
まずは先程の位数
縦線
斜線y=x
斜線y=2x
斜線y=3x
斜線y=4x
斜線y=5x
斜線y=6x
斜線y=7x
斜線y=8x
横線(アフィン平面
横線(アフィン平面
横線(アフィン平面
横線(アフィン平面
そこに位数
今回紹介した方法で示してみます。
まず位数2,次元3のアフィン空間のブロックデザインを作ります。
まず真下、各斜めの線
そして横の線を構築するため、次元を1つ下げたアフィン空間を作る。
(1段目の2^2と2段目の2^2によるアフィン平面)
上で示した位数2、次元3のアフィン空間を射影空間にします。
まずは
さらに