SchläfliによるBessel関数の積分表示
Bessel関数は
\begin{align}
J_{\nu}(z)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n!\Gamma(\nu+n+1)}\left(\frac z2\right)^{2n+\nu}
\end{align}
によって定義される.
$n$が整数とするとき, Besselの積分表示
\begin{align}
J_n(z)&=\frac 1{\pi}\int_0^{\pi}\cos(n\theta-z\sin\theta)\,d\theta
\end{align}
は最もよく知られたBessel関数の積分表示である. 今回はこの積分表示の$n$を連続変数に拡張したSchläfliによる積分表示を示す.
$C$を虚部が負の$-\infty$から始まり, 原点の周りを正の方向に回って虚部が正の$-\infty$で終わるHankel路とする. このとき,
\begin{align}
J_{\nu}(z)&=\frac{\left(\frac z2\right)^{\nu}}{2\pi i}\int_Ct^{-\nu-1}\exp\left(t-\frac{z^2}{4t}\right)\,dt\\
&=\frac{1}{2\pi i}\int_Ct^{-\nu-1}\exp\left(\frac z2\left(t-\frac{1}{t}\right)\right)\,dt\\
\end{align}
が成り立つ.
ガンマ関数のHankel積分表示
\begin{align}
\frac 1{\Gamma(\nu+m+1)}&=\frac 1{2\pi i}\int_Ct^{-\nu-m-1}e^t\,dt
\end{align}
より
\begin{align}
J_{\nu}(z)&=\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m\left(\frac z2\right)^{\nu+2m}}{m!\Gamma(\nu+m+1)}\\
&=\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m\left(\frac z2\right)^{\nu+2m}}{m!}\frac 1{2\pi i}\int_Ct^{-\nu-m-1}e^t\,dt\\
&=\frac{\left(\frac z2\right)^{\nu}}{2\pi i}\int_Ct^{-\nu-1}e^t\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m\left(\frac{z^2}{4t}\right)^{m}}{m!}\,dt\\
&=\frac{\left(\frac z2\right)^{\nu}}{2\pi i}\int_Ct^{-\nu-1}\exp\left(t-\frac{z^2}{4t}\right)\,dt
\end{align}
となって示すべき等式が得られる. $t\mapsto \frac{zt}2$として後半の表示を得る.
以下はBesselの積分表示の連続化である.
\begin{align} J_{\nu}(z)&=\frac 1{\pi}\int_0^{\pi}\cos(\nu\theta-z\sin\theta)\,d\theta-\frac{\sin\nu\pi}{\pi}\int_0^{\infty}e^{-\nu t-z\sinh t}\,dt \end{align}
定理1
\begin{align}
J_{\nu}(z)&=\frac{1}{2\pi i}\int_Ct^{-\nu-1}\exp\left(\frac z2\left(t-\frac{1}{t}\right)\right)\,dw
\end{align}
において$t=e^w$とすると
\begin{align}
J_{\nu}(z)&=\frac{1}{2\pi i}\int_{\infty-\pi i}^{\infty+\pi i}\exp\left(z\sinh w-\nu w\right)\,dw
\end{align}
となる. ここで, 積分路を$(\infty-\pi i,-\pi i), (-\pi i,\pi i),(\pi i,\infty+\pi i)$の3つに分けると,
\begin{align}
J_{\nu}(z)&=\frac{1}{2\pi i}\int_{\infty-\pi i}^{-\pi i}\exp\left(z\sinh w-\nu w\right)\,dw\\
&\qquad +\frac{1}{2\pi i}\int_{\pi i}^{\infty+\pi i}\exp\left(z\sinh w-\nu w\right)\,dw\\
&\qquad +\frac 1{2\pi i}\int_{-\pi i}^{\pi i}\exp\left(z\sinh w-\nu w\right)\,dt\\
&=-\frac{e^{i\nu\pi}}{2\pi i}\int_0^{\infty}\exp\left(-z\sinh t-\nu t\right)\,dw\\
&\qquad +\frac{e^{-i\nu\pi}}{2\pi i}\int_0^{\infty}\exp\left(-z\sinh t-\nu t\right)\,dw\\
&\qquad +\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\exp\left(iz\sin \theta-i\nu \theta\right)\,d\theta\\
&=\frac 1{\pi}\int_0^{\pi}\cos(\nu\theta-z\sin\theta)\,d\theta-\frac{\sin\nu\pi}{\pi}\int_0^{\infty}e^{-\nu t-z\sinh t}\,dt
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
第2種Bessel関数の積分表示
第2種Bessel関数は,
\begin{align}
Y_{\nu}(z):=\frac{J_{\nu}(z)\cos\nu\pi- J_{-\nu}(z)}{\sin\nu\pi}
\end{align}
によって定義される. この定義と, 定理2より
\begin{align}
\pi Y_{\nu}(z)&=\frac{\cos\nu\pi}{\sin\nu\pi}\int_0^{\pi}\cos(\nu\theta-z\sin\theta)\,d\theta-\cos\nu\pi\int_0^{\infty}e^{-\nu t-z\sinh t}\,dt\\
&\qquad-\frac 1{\sin\nu\pi}\int_0^{\pi}\cos(\nu\theta+z\sin\theta)\,d\theta-\int_0^{\infty}e^{\nu t-z\sinh t}\,dt\\
&=\frac{1}{\sin\nu\pi}\int_0^{\pi}(\cos\nu\pi\cos(\nu\theta-z\sin\theta)-\cos(\nu\pi-(\nu\theta+z\sin\theta)))\,d\theta\\
&\qquad-\int_0^{\infty}e^{-z\sinh t}(e^{\nu t}+e^{-\nu t}\cos\nu\pi)\,dt\\
&=\int_0^{\pi}\sin(z\sin\theta-\nu\theta)\,d\theta-\int_0^{\infty}e^{-z\sinh t}(e^{\nu t}+e^{-\nu t}\cos\nu\pi)\,dt
\end{align}
となる. つまり, 以下が得られた.
\begin{align} Y_{\nu}(z)&=\frac 1{\pi}\int_0^{\pi}\sin(z\sin\theta-\nu\theta)\,d\theta-\frac 1{\pi}\int_0^{\infty}e^{-z\sinh t}(e^{\nu t}+e^{-\nu t}\cos\nu\pi)\,dt \end{align}
SommerfeldによるHankel関数の積分表示
Hankel関数は
\begin{align}
H_{\nu}^{(1)}(z)&:=J_{\nu}(z)+iY_{\nu}(z)\\
H_{\nu}^{(2)}(z)&:=J_{\nu}(z)-iY_{\nu}(z)
\end{align}
によって定義される. 定理1, 定理2より
\begin{align}
H_{\nu}^{(1)}(z)&=\frac 1{\pi}\int_0^{\pi}\cos(\nu\theta-z\sin\theta)\,d\theta-\frac{\sin\nu\pi}{\pi}\int_0^{\infty}e^{-\nu t-z\sinh t}\,dt\\
&\qquad+\frac i{\pi}\int_0^{\pi}\sin(z\sin\theta-\nu\theta)\,d\theta-\frac i{\pi}\int_0^{\infty}e^{-z\sinh t}(e^{\nu t}+e^{-\nu t}\cos\nu\pi)\,dt\\
&=\frac 1{\pi}\int_0^{\pi}e^{i(z\sin\theta-\nu\theta)}\,d\theta+\frac{e^{-i\nu\pi}}{i\pi}\int_0^{\infty}e^{-\nu t-z\sinh t}\,dt\\
&\qquad+\frac 1{\pi i}\int_0^{\infty}e^{\nu t-z\sinh t}\,dt\\
\end{align}
となる. これは
\begin{align}
\frac1{\pi i}e^{z\sinh w-\nu w}
\end{align}
をそれぞれ$(-\infty,0), (0,\pi i),(\pi i,\infty+\pi i)$で積分したものを足し合わせたものに等しい. よって
\begin{align}
H_{\nu}^{(1)}(z)&=\frac1{\pi i}\int_{-\infty}^{\infty+\pi i}e^{z\sinh w-\nu w}\,dw
\end{align}
を得る. 全く同様に,
\begin{align}
H_{\nu}^{(2)}(z)&=-\frac{1}{\pi i}\int_{-\infty}^{\infty-\pi i}e^{z\sinh w-\nu w}\,dw
\end{align}
である. よって以下が得られた.
\begin{align} H_{\nu}^{(1)}(z)&=\frac1{\pi i}\int_{-\infty}^{\infty+\pi i}e^{z\sinh w-\nu w}\,dw\\ H_{\nu}^{(2)}(z)&=-\frac{1}{\pi i}\int_{-\infty}^{\infty-\pi i}e^{z\sinh w-\nu w}\,dw \end{align}
これらは変数変換により
\begin{align}
H_{\nu}^{(1)}(z)&=\frac1{\pi i}\int_0^{\infty \exp(\pi i)}t^{-\nu-1}\exp\left(\frac z2\left(t-\frac 1t\right)\right)\,dt\\
H_{\nu}^{(2)}(z)&=-\frac1{\pi i}\int_0^{\infty \exp(-\pi i)}t^{-\nu-1}\exp\left(\frac z2\left(t-\frac 1t\right)\right)\,dt
\end{align}
と書くこともできる.
変形Bessel関数の積分表示
変形Bessel関数は
\begin{align}
I_{\nu}(z)&:=\sum_{0\leq n}\frac{1}{n!\Gamma(\nu+n+1)}\left(\frac z2\right)^{2n+\nu}
\end{align}
と定義される. 定理1と全く同様の方針で以下が示される.
$C$を虚部が負の$-\infty$から始まり, 原点の周りを正の方向に回って虚部が正の$-\infty$で終わるHankel路とする. このとき,
\begin{align}
I_{\nu}(z)&=\frac{\left(\frac z2\right)^{\nu}}{2\pi i}\int_Ct^{-\nu-1}\exp\left(t+\frac{z^2}{4t}\right)\,dt\\
&=\frac{1}{2\pi i}\int_Ct^{-\nu-1}\exp\left(\frac z2\left(t+\frac{1}{t}\right)\right)\,dt
\end{align}
が成り立つ.
定理2と同様の方針で以下が示される.
\begin{align} I_{\nu}(z)&=\frac 1{\pi}\int_0^{\pi}e^{z\cos\theta}\cos\nu\theta\,d\theta-\frac{\sin\nu\pi}{\pi}\int_0^{\infty}e^{-z\cosh t-\nu t}\,dt \end{align}
第2種変形Bessel関数は
\begin{align}
K_{\nu}(z)&:=\frac{\pi}2\frac{I_{-\nu}(z)-I_{\nu}(z)}{\sin\nu\pi}
\end{align}
によって定義される. 定理6より以下が得られる.
\begin{align} K_{\nu}(z)&=\int_0^{\infty}e^{-z\cosh t}\cosh \nu t\,dt \end{align}
これは
\begin{align}
K_{\nu}(z)&=\frac 12\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\nu t-z\cosh t}\,dt
\end{align}
と表すこともできる.
