最大公約数の分布から多重ゼータ値へ
ランダムに選んだ$k$個の正整数が互いに素となる確率は$1/\zeta(k)$に等しい.
という有名な事実があります. これは最大公約数の分布がゼータ関数で記述されることを示す, 非常に美しい結果です.
本記事では, この結果をさらに発展させて, 複数の最大公約数の間の相関を考えることで, 多重ゼータ値が自然に現れることを紹介します.
準備
各$i=1,\dots,r$について, $k_i$個の正整数
\begin{align}
X_{i,1},\dots,X_{i,k_i}\in\{1,\dots,N\}
\end{align}
を独立に一様ランダムに選びます. それらの最大公約数を
\begin{align}
D_i=\gcd(X_{i,1},\dots,X_{i,k_i})
\end{align}
とおきます.
本記事の主役となる多重ゼータ値, 多重ゼータスター値を定義します.
正整数$k_1,\dots,k_r$ (ただし$k_r\ge2$) に対し, 多重ゼータ値$\zeta(k_1,\dots,k_r)$と多重ゼータスター値$\zeta^\star(k_1,\dots,k_r)$を
\begin{align}
\zeta(k_1,\dots,k_r)&=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}},\\
\zeta^\star(k_1,\dots,k_r)&=\sum_{0< n_1\le\cdots\le n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}
\end{align}
で定義する.
主定理
$k_1,\dots,k_r\ge2$とする. このとき
\begin{align}
\lim_{N\to\infty}P(D_1<\cdots< D_r)&=\frac{\zeta(k_1,\dots,k_r)}{\zeta(k_1)\cdots\zeta(k_r)},\\
\lim_{N\to\infty}P(D_1\le\cdots\le D_r)&=\frac{\zeta^\star(k_1,\dots,k_r)}{\zeta(k_1)\cdots\zeta(k_r)}.
\end{align}
次に, 約数関数の多変数版として
\begin{align}
d_{<}(n_1,\dots,n_r)&=\#\Bigl\{(m_1,\dots,m_r)\in\mathbb{Z}_{>0}^r\,\Big|\,m_1<\dots< m_r,\,m_i\mid n_i\,(1\le i\le r)\Bigr\},\\
d_{\le}(n_1,\dots,n_r)&=\#\Bigl\{(m_1,\dots,m_r)\in\mathbb{Z}_{>0}^r\,\Big|\,m_1\le\dots\le m_r,\,m_i\mid n_i\,(1\le i\le r)\Bigr\}
\end{align}
と定義します.
$k_1,\dots,k_{r−1}\ge1,\,k_r\ge2$とする. このとき
\begin{align}
\lim_{N\to\infty}E\bigl[d_{<}(D_1,\dots,D_r)\bigr]&=\zeta(k_1,\dots,k_r),\\
\lim_{N\to\infty}E\bigl[d_{\le}(D_1,\dots,D_r)\bigr]&=\zeta^\star(k_1,\dots,k_r).
\end{align}
証明
まず$D_i$の分布を求めます. $\mu(n)$をメビウス関数とします.
\begin{align} P(n\mid D_i)=\left(\frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{n}\right\rfloor\right)^{k_i}. \end{align}
$\{1,\dots,N\}$の中で$n$の倍数の個数は$\lfloor N/n\rfloor$なので
\begin{align}
P(n\mid X_{i,j})=\frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{n}\right\rfloor.
\end{align}
したがって, $X_{i,j}$の独立性より
\begin{align}
P(n\mid D_i)=P(n\mid X_{i,1},\dots,n\mid X_{i,k_i})=\left(\frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{n}\right\rfloor\right)^{k_i}.
\end{align}
\begin{align} P(D_i=n)=\sum_{m\ge1}\mu(m)\left(\frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{mn}\right\rfloor\right)^{k_i}. \end{align}
\begin{align}
1_{\{D_i=n\}}=\sum_{m\ge1}\mu(m)\,1_{\{mn\mid D_i\}}
\end{align}
が成り立つ. 実際, $n\nmid D_i$のとき両辺は$0$であり, $n\mid D_i$のとき右辺は
\begin{align}
\sum_{m\mid\frac{D_i}{n}}\mu(m)=
\begin{cases}
1\qquad(D_i=n),\\
0\qquad(D_i\neq n)
\end{cases}
\end{align}
となる. よって, 補題3より
\begin{align}
P(D_i=n)=\sum_{m\ge1}\mu(m)P(mn\mid D_i)=\sum_{m\ge1}\mu(m)\left(\frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{mn}\right\rfloor\right)^{k_i}.
\end{align}
\begin{align} \lim_{N\to\infty}P(D_i=n)=\frac{1}{\zeta(k_i)\,n^{k_i}}. \end{align}
補題4の等式において, 右辺の和の各項について
\begin{align}
\mu(m)\left(\frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{mn}\right\rfloor\right)^{k_i}\to\frac{\mu(m)}{(mn)^{k_i}}\qquad(N\to\infty).
\end{align}
また
\begin{align}
\left|\mu(m)\left(\frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{mn}\right\rfloor\right)^{k_i}\right|\le\frac{1}{(mn)^{k_i}}
\end{align}
と上から評価できる. ここで, $k_i\ge2$より
\begin{align}
\sum_{m\ge1}\frac{1}{(mn)^{k_i}}=\frac{\zeta(k_i)}{n^{k_i}}
\end{align}
は収束する. したがって, 優収束定理より
\begin{align}
\lim_{N\to\infty}P(D_i=n)=\sum_{m\ge1}\frac{\mu(m)}{(mn)^{k_i}}=\frac{1}{\zeta(k_i)\,n^{k_i}}.
\end{align}
各$D_i$の独立性より
\begin{align}
P(D_1<\cdots< D_r)=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\prod_{i=1}^rP(D_i=n_i)
\end{align}
が成り立つ. 右辺の和の各項について, 補題5より
\begin{align}
\prod_{i=1}^rP(D_i=n_i)\to\frac{1}{\zeta(k_1)\cdots\zeta(k_r)}\cdot\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}
\end{align}
また
\begin{align}
0\le\prod_{i=1}^rP(D_i=n_i)\le\frac{\zeta(k_1)\cdots\zeta(k_r)}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}
\end{align}
と評価できる. ここで, $k_r\ge2$より
\begin{align}
\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{\zeta(k_1)\cdots\zeta(k_r)}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}=\zeta(k_1)\cdots\zeta(k_r)\zeta(k_1,\dots,k_r)
\end{align}
は収束する. したがって, 優収束定理より
\begin{align}
\lim_{N\to\infty}P(D_1<\cdots< D_r)=\frac{1}{\zeta(k_1)\cdots\zeta(k_r)}\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}=\frac{\zeta(k_1,\dots,k_r)}{\zeta(k_1)\cdots\zeta(k_r)}.
\end{align}
2つ目の等式についても同様.
定義から
\begin{align}
d_{<}(D_1,\dots,D_r)=\sum_{0< m_1<\cdots< m_r}1_{\{m_1\mid D_1,\dots,m_r\mid D_r\}}
\end{align}
なので, 期待値の線型性と$D_i$の独立性より
\begin{align}
E\bigl[d_{<}(D_1,\dots,D_r)\bigr]=\sum_{0< m_1<\cdots< m_r}P(m_1\mid D_1,\dots,m_r\mid D_r)=\sum_{0< m_1<\cdots< m_r}\prod_{i=1}^rP(m_i\mid D_i).
\end{align}
最右辺の和の各項について, 補題3より
\begin{align}
\prod_{i=1}^r P(m_i\mid D_i)\to\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}}\qquad(N\to\infty).
\end{align}
また
\begin{align}
0\le\prod_{i=1}^rP(m_i\mid D_i)\le\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}}
\end{align}
と評価できる. ここで, $k_r\ge2$より
\begin{align}
\sum_{0< m_1<\cdots< m_r}\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}}=\zeta(k_1,\dots,k_r)
\end{align}
は収束する. したがって, 優収束定理より
\begin{align}
\lim_{N\to\infty}E\bigl[d_{<}(D_1,\dots,D_r)\bigr]=\sum_{0< m_1<\cdots< m_r}\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}}=\zeta(k_1,\dots,k_r).
\end{align}
2つ目の等式についても同様.
