最大公約数の分布から多重ゼータ値へ
はじめに
次の有名な事実があります.
$k$を$2$以上の整数とする. 正の整数を「ランダムに」$k$個選んだとき, それらが互いに素 (最大公約数が$1$) となる確率は
\begin{align} \frac{1}{\zeta(k)} \end{align}
に等しい.
この結果は, 最大公約数の分布がRiemannゼータ関数で記述されることを示しています.
この記事では, この結果を発展させて, 複数の最大公約数の間の相関を考えることで, 多重ゼータ値が自然に現れることを紹介します.
準備
$N,r$を正の整数とします. 各$i=1,\dots,r$に対して, $k_i$を正の整数とします.
全ての$i$に対して, $k_i$個の正整数
\begin{align} X_{i,1},\dots,X_{i,k_i} \in \{1,\dots,N\} \end{align}
を, 独立かつ一様ランダムに選びます.
それらの最大公約数を
\begin{align} D_i = \gcd(X_{i,1},\dots,X_{i,k_i}) \end{align}
とおきます.
多重ゼータ値と多重ゼータスター値の定義を復習します.
正の整数$k_1,\dots,k_r$ (ただし$k_r\ge2$) に対し, 多重ゼータ値$\zeta(k_1,\dots,k_r)$と多重ゼータスター値$\zeta^\star(k_1,\dots,k_r)$を
\begin{align} \zeta(k_1,\dots,k_r) &= \sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}, \\ \zeta^\star(k_1,\dots,k_r) &= \sum_{0< n_1\le\cdots\le n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}} \end{align}
で定義する.
定理の内容
$k_1,\dots,k_r\ge2$とする. このとき
\begin{align} \lim_{N\to\infty}P(D_1<\cdots< D_r) &= \frac{\zeta(k_1,\dots,k_r)}{\zeta(k_1)\cdots\zeta(k_r)}, \\ \lim_{N\to\infty}P(D_1\le\cdots\le D_r) &= \frac{\zeta^\star(k_1,\dots,k_r)}{\zeta(k_1)\cdots\zeta(k_r)}. \end{align}
次に, 約数関数の多変数版として
\begin{align} d_{<}(n_1,\dots,n_r) &= \#\Bigl\{(m_1,\dots,m_r)\in\mathbb{Z}_{>0}^r\,\Big|\,m_1<\dots< m_r,\,m_i\mid n_i\,(1\le i\le r)\Bigr\}, \\ d_{\le}(n_1,\dots,n_r) &= \#\Bigl\{(m_1,\dots,m_r)\in\mathbb{Z}_{>0}^r\,\Big|\,m_1\le\dots\le m_r,\,m_i\mid n_i\,(1\le i\le r)\Bigr\} \end{align}
と定義します.
$k_1,\dots,k_{r−1}\ge1,\,k_r\ge2$とする. このとき
\begin{align} \lim_{N\to\infty}E\bigl[d_{<}(D_1,\dots,D_r)\bigr] &= \zeta(k_1,\dots,k_r), \\ \lim_{N\to\infty}E\bigl[d_{\le}(D_1,\dots,D_r)\bigr] &= \zeta^\star(k_1,\dots,k_r). \end{align}
補題の準備
まず$D_i$の分布を求めます. $\mu(n)$をメビウス関数とします.
\begin{align} P(n\mid D_i) = \left(\frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{n}\right\rfloor\right)^{k_i}. \end{align}
$\{1,\dots,N\}$の中で$n$の倍数の個数は$\lfloor N/n\rfloor$なので
\begin{align} P(n\mid X_{i,j}) = \frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{n}\right\rfloor. \end{align}
したがって, $X_{i,j}$の独立性より
\begin{align} P(n\mid D_i) &= P(n\mid X_{i,1},\dots,n\mid X_{i,k_i}) \\ &= \left(\frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{n}\right\rfloor\right)^{k_i}. \end{align}
\begin{align} P(D_i=n) = \sum_{m\ge1}\mu(m)\left(\frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{mn}\right\rfloor\right)^{k_i}. \end{align}
\begin{align} 1_{\{D_i=n\}} = \sum_{m\ge1}\mu(m)\,1_{\{mn\mid D_i\}} \end{align}
が成り立つ. 実際, $n\nmid D_i$のとき両辺は$0$であり, $n\mid D_i$のとき右辺は
\begin{align} \sum_{m\mid\frac{D_i}{n}}\mu(m) = \begin{cases} 1, \qquad &D_i=n \\ 0, \qquad & D_i\neq n \end{cases} \end{align}
となる. よって, 補題3より
\begin{align} P(D_i=n) &= \sum_{m\ge1}\mu(m)P(mn\mid D_i) \\ &= \sum_{m\ge1}\mu(m)\left(\frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{mn}\right\rfloor\right)^{k_i}. \end{align}
\begin{align} \lim_{N\to\infty}P(D_i=n) = \frac{1}{\zeta(k_i)\,n^{k_i}}. \end{align}
補題4の等式において, 右辺の和の各項について
\begin{align} \mu(m)\left(\frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{mn}\right\rfloor\right)^{k_i} \to \frac{\mu(m)}{(mn)^{k_i}} \qquad (N\to\infty). \end{align}
また
\begin{align} \left|\mu(m)\left(\frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{mn}\right\rfloor\right)^{k_i}\right| \le \frac{1}{(mn)^{k_i}} \end{align}
と上から評価できる. ここで, $k_i\ge2$より
\begin{align} \sum_{m\ge1}\frac{1}{(mn)^{k_i}} = \frac{\zeta(k_i)}{n^{k_i}} \end{align}
は収束する. したがって, 優収束定理より
\begin{align} \lim_{N\to\infty}P(D_i=n) = \sum_{m\ge1}\frac{\mu(m)}{(mn)^{k_i}} = \frac{1}{\zeta(k_i)\,n^{k_i}}. \end{align}
定理の証明
定理1の証明
各$D_i$の独立性より
\begin{align} P(D_1<\cdots< D_r) = \sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\prod_{i=1}^rP(D_i=n_i) \end{align}
が成り立つ. 右辺の和の各項について, 補題5より
\begin{align} \prod_{i=1}^rP(D_i=n_i) \to \frac{1}{\zeta(k_1)\cdots\zeta(k_r)}\cdot\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}} \end{align}
また
\begin{align} 0 \le \prod_{i=1}^rP(D_i=n_i) \le \frac{\zeta(k_1)\cdots\zeta(k_r)}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}} \end{align}
と評価できる. ここで, $k_r\ge2$より
\begin{align} \sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{\zeta(k_1)\cdots\zeta(k_r)}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}} = \zeta(k_1)\cdots\zeta(k_r)\zeta(k_1,\dots,k_r) \end{align}
は収束する. したがって, 優収束定理より
\begin{align} \lim_{N\to\infty}P(D_1<\cdots< D_r) &= \frac{1}{\zeta(k_1)\cdots\zeta(k_r)}\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}} \\ &= \frac{\zeta(k_1,\dots,k_r)}{\zeta(k_1)\cdots\zeta(k_r)}. \end{align}
二番目の等式についても同様.
定理2の証明
定義から
\begin{align} d_{<}(D_1,\dots,D_r) = \sum_{0< m_1<\cdots< m_r}1_{\{m_1\mid D_1,\dots,m_r\mid D_r\}} \end{align}
なので, 期待値の線型性と$D_i$の独立性より
\begin{align} E\bigl[d_{<}(D_1,\dots,D_r)\bigr] &= \sum_{0< m_1<\cdots< m_r}P(m_1\mid D_1,\dots,m_r\mid D_r) \\ &= \sum_{0< m_1<\cdots< m_r}\prod_{i=1}^rP(m_i\mid D_i). \end{align}
最右辺の和の各項について, 補題3より
\begin{align}
\prod_{i=1}^r P(m_i\mid D_i)\to\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}}\qquad(N\to\infty).
\end{align}
また
\begin{align} 0 \le \prod_{i=1}^rP(m_i\mid D_i) \le \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}} \end{align}
と評価できる. ここで, $k_r\ge2$より
\begin{align} \sum_{0< m_1<\cdots< m_r}\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}}=\zeta(k_1,\dots,k_r) \end{align}
は収束する. したがって, 優収束定理より
\begin{align} \lim_{N\to\infty}E\bigl[d_{<}(D_1,\dots,D_r)\bigr] &= \sum_{0< m_1<\cdots< m_r}\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}} \\ &= \zeta(k_1,\dots,k_r). \end{align}
二番目の等式についても同様.
