eが無理数であることの証明

$n$を自然数として
$I_n= \int_{0}^{1} x^{n}e^{1-x}dx= \int_{0}^{1} f_n(x)dx$
とおく。さらに$f_n(x)=x^{n}e^{1-x}(0 \leq x \leq 1)$とおく。
$\frac{d}{dx}f_n(x)=nx^{n-1}e^{1-x}-x^{n}e^{1-x}=x^{n-1}e^{1-x}(n-x) \geq 0　(0 \leq x \leq 1)$
$f_n(x)$は$0 \leq x \leq 1$で単調増加より、$0 \leq f_n(x) \leq 1$である。これを$0 \leq x \leq 1$で積分すると
$0 \leq I_n \leq 1$
が成り立つ。
また
$I_{n+1}= \int_{0}^{1} x^{n+1}e^{1-x}dx=[x^{n+1}(-e^{1-x})]_0^1- \int_{0}^{1} (n+1)x^{n}(-e^{1-x})dx=-1+(n+1)I_n$
両辺を$(n+1)!$で割ると
$\frac{I_{n+1}}{(n+1)!}= \frac{I_n}{n!}- \frac{1}{(n+1)!} $
$n \geq 2$のとき
$\frac{I_n}{n!}=\frac{I_1}{1!}+ \sum_{k=1}^{n-1} (-\frac{1}{(k+1)!})= \int_{0}^{1} xe^{1-x}dx- \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+1)!}=[-xe^{1-x}]_0^1+ \int_{0}^{1} e^{1-x}dx- \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+1)!}=e-2- \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+1)!}=e- \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$
となるが、これは$n=1$でも成り立つ。
$\therefore I_n=n!e-n! \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$
$0< I_n<1$より
$0< n!e-n! \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!} <1 \Longleftrightarrow \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!} < n!e< \sum_{k=0}^{n} $$\frac{n!}{k!}+1$
ここで、$k=0,1,2,…,n$に関して$\frac{n!}{k!}$は整数なので$\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}$も整数、上の不等式から、任意の自然数$n$に関して$n!e$は整数とはならない。
ここで$e$が有理数であるとすると$e= \frac{q}{p}$ ($p,q$は互いに素な自然数)とおけるので、$n \geq p$の$n$に関して$n!e$は整数となるので矛盾する。
したがって、$e$は無理数である。　　　　　　　 　　$Q.E.D.$