JMO2025問題だけ

　$n$を$2$以上の整数とする．実数$a_1,a_2,\ldots,a_{2n}$が任意の$1$以上$n$以下の整数$k$に対して$|a_k-a_{n+k}| \geq 1$を満たすとき，
$$(a_1-a_2)^2 + (a_2-a_3)^2 + \cdots + (a_{2n-1}-a_{2n})^2 + (a_{2n}-a_1)^2$$
のとりうる最小の値を求めよ．

　鋭角三角形$ABC$があり，その外心を$O$とする．また，三角形$ABO,ACO$の外心を$O_1,O_2$とする．三角形$AO_1O_2$の外接円と辺$BC$が相異なる$2$点$P,Q$で交わっており，$4$点$B,P,Q,C$はこの順に並んでいた．三角形$OPQ$の外心を$O_3$とするとき，$A,O,O_3$が同一直線上にあることを示せ．

　$n$を正の整数とする．$1$以上$100$以下の整数の組$(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),\ldots,(x_n,y_n,z_n)$が次の条件を満たした．

• $1$以上$100$以下の整数からなる任意の数列$a_1,a_2,\ldots$に対し，正の整数$i$と$1$以上$n$以下の整数$j$であって，$(a_{i},a_{i+1},a_{i+2})=(x_j,y_j,z_j)$を満たすものが存在する．

　このとき，$n$としてありうる最小の値を求めよ．

　整数係数多項式$f(x)$であって，任意の$2$以上の整数$n$に対して次の条件をともに満たすものを全て求めよ．

• $f(n) \gt 0$が成り立つ．
• $f(n)$が$n^{f(n)}-1$を割りきる．

　二等辺三角形ではない鋭角三角形$ABC$の内部に相異なる$3$点$A_1,B_1,C_1$があり，$AB_1:CB_1=AB:CB$および$AC_1:BC_1=AC:BC$を満たしている．直線$BC$に関して$A_1$と対称な点を$A_2$，直線$AC$に関して$B_1$と対称な点を$B_2$，直線$AB$に関して$C_1$と対称な点を$C_2$とすると，次の条件を全て満たした．

• $4$点$A,A_2,B,C_2$は同一円周上にある．
• $4$点$A,A_2,B_2,C$は同一円周上にある．
• $4$点$B,B_2,C,C_2$は同一円周上にある．
• $3$点$A_2,B_2,C_2$はいずれも三角形$ABC$の外接円上にない．

　このとき，三角形$A_1B_1C_1$と三角形$A_2B_2C_2$は相似であることを示せ．