Watsonによる超幾何関数の積公式
Appellの超幾何級数$F_4$は
\begin{align}
\F{}4{a,b}{c,d}{x,y}&:=\sum_{0\leq n,m}\frac{(a,b)_{n+m}}{n!m!(c)_n(d)_m}x^ny^m
\end{align}
によって定義される.
$n$を非負整数とするとき,
\begin{align}
&\F21{-n,a+n}{c}{x}\F21{-n,a+n}{c}{y}\\
&=(-1)^n\frac{(1+a-c)_n}{(c)_n}\F{}4{-n,a+n}{c,1+a-c}{xy,(1-x)(1-y)}
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
&(1-y)^{a-c}\F{}4{-n,a+n}{c,1+a-c}{xy,(1-x)(1-y)}\\
&=\sum_{0\leq k,l}\frac{(-n,a+n)_{k+l}}{(c)_k(1+a-c)_lk!l!}x^ky^k(1-x)^l(1-y)^{l+a-c}\\
&=\sum_{0\leq k,l}\frac{(-n,a+n)_{k+l}}{(c)_kk!}\sum_{i=0}^l\frac{(-1)^i}{i!(l-i)!}x^{k+i}\sum_{0\leq j}\frac{(-1)^j}{j!(1+a-c)_{l-j}}y^{k+j}\\
&=\sum_{0\leq i,j,k,l}\frac{(-n,a+n)_{k+l}}{(c)_kk!}\frac{(-1)^{i}}{(i-k)!(l+k-i)!}x^{i}\frac{(-1)^{j}}{(j-k)!(1+a-c)_{l+k-j}}y^j\\
&=\sum_{0\leq i,j,k}\frac{1}{(c)_kk!}\frac{(-1)^{i}}{(i-k)!}x^{i}\frac{(-1)^{j}}{(j-k)!}y^j\sum_{0\leq l}\frac{(-n,a+n)_{k+l}}{(l+k-i)!(1+a-c)_{l+k-j}}
\end{align}
ここで, Vandermondeの恒等式より,
\begin{align}
\sum_{0\leq l}\frac{(-n,a+n)_{k+l}}{(l+k-i)!(1+a-c)_{l+k-j}}&=\sum_{0\leq l}\frac{(-n,a+n)_{i+l}}{l!(1+a-c)_{l+i-j}}\\
&=\frac{(-n,a+n)_i}{(1+a-c)_{i-j}}\F21{i-n,a+n+i}{1+a-c+i-j}1\\
&=\frac{(-n,a+n)_i}{(1+a-c)_{i-j}}\frac{(1-c-n-j)_{n-i}}{(1+a-c+i-j)_{n-i}}\\
&=\frac{(-n,a+n)_i}{(1+a-c)_{n-j}}\frac{(1-c)_{-i-j}}{(1-c)_{-n-j}}\\
&=(-1)^{n+i}\frac{(-n,a+n)_i}{(1+a-c)_{n-j}}\frac{(c)_{n+j}}{(c)_{i+j}}
\end{align}
だから,
\begin{align}
&(1-y)^{a-c}\F{}4{-n,a+n}{c,1+a-c}{xy,(1-x)(1-y)}\\
&=(-1)^{n}\sum_{0\leq i,j,k}\frac{1}{(c)_kk!}\frac{1}{(i-k)!}x^{i}\frac{(-1)^{j}}{(j-k)!}y^j\frac{(-n,a+n)_i}{(1+a-c)_{n-j}}\frac{(c)_{n+j}}{(c)_{i+j}}\\
&=(-1)^{n}\sum_{0\leq i,j}x^{i}(-y)^j\frac{(-n,a+n)_i}{(1+a-c)_{n-j}}\frac{(c)_{n+j}}{(c)_{i+j}}\sum_{0\leq k}\frac{1}{(c)_kk!(i-k)!(j-k)!}
\end{align}
ここで, 再びVandermondeの恒等式より,
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\frac{1}{(c)_kk!(i-k)!(j-k)!}&=\frac 1{i!j!}\F21{-i,-j}{c}1\\
&=\frac 1{i!j!}\frac{(c)_{i+j}}{(c)_i(c)_j}
\end{align}
\begin{align}
&(1-y)^{a-c}\F{}4{-n,a+n}{c,1+a-c}{xy,(1-x)(1-y)}\\
&=(-1)^{n}\sum_{0\leq i,j}x^{i}(-y)^{j}\frac{(-n,a+n)_i}{(1+a-c)_{n-j}}\frac 1{i!j!}\frac{(c)_{n+j}}{(c)_i(c)_j}\\
&=\frac{(-1)^n(c)_n}{(1+a-c)_n}\F21{-n,a+n}{c}x\F21{n+c,c-n-a}{c}{y}
\end{align}
最後に, Eulerの変換公式より
\begin{align}
\F21{n+c,c-n-a}{c}{y}&=(1-y)^{a-c}\F21{-n,a+n}{c}{y}
\end{align}
であるから定理を得る.
このWatsonの公式は, Baileyによる公式
\begin{align}
\F{}4{a,b}{c,1+a+b-c}{x(1-y),y(1-x)}&=\F21{a,b}{c}{x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{y}
\end{align}
と${}_2F_1$の変換公式からも得られるので, その特別な場合とも言える.
応用として, 以下の公式も示される.
$n$を非負整数とするとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\frac{(-n,a+n)_k}{(d,f)_k}\sum_{j=0}^k\frac{(b,e)_j}{j!(c)_j}\frac{(d-b,f-e)_{k-j}}{(k-j)!(1+a-c)_{k-j}}\\
&=\frac{(-1)^n(c)_n}{(1+a-c)_n}\F32{-n,n+a,b}{c,d}1\F32{-n,n+a,e}{c,f}1
\end{align}
が成り立つ.
定理1の両辺に$x^{b-1}(1-x)^{d-b-1}y^{e-1}(1-y)^{f-e-1}$を掛けて$[0,1]^2$で積分すればよい.
