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現代数学解説
文献あり

Watsonによる超幾何関数の積公式

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Appellの超幾何級数F4
F4[a,bc,d;x,y]:=0n,m(a,b)n+mn!m!(c)n(d)mxnym
によって定義される.

Watson(1921)

nを非負整数とするとき,
2F1[n,a+nc;x]2F1[n,a+nc;y]=(1)n(1+ac)n(c)nF4[n,a+nc,1+ac;xy,(1x)(1y)]
が成り立つ.

(1y)acF4[n,a+nc,1+ac;xy,(1x)(1y)]=0k,l(n,a+n)k+l(c)k(1+ac)lk!l!xkyk(1x)l(1y)l+ac=0k,l(n,a+n)k+l(c)kk!i=0l(1)ii!(li)!xk+i0j(1)jj!(1+ac)ljyk+j=0i,j,k,l(n,a+n)k+l(c)kk!(1)i(ik)!(l+ki)!xi(1)j(jk)!(1+ac)l+kjyj=0i,j,k1(c)kk!(1)i(ik)!xi(1)j(jk)!yj0l(n,a+n)k+l(l+ki)!(1+ac)l+kj
ここで, Vandermondeの恒等式より,
0l(n,a+n)k+l(l+ki)!(1+ac)l+kj=0l(n,a+n)i+ll!(1+ac)l+ij=(n,a+n)i(1+ac)ij2F1[in,a+n+i1+ac+ij;1]=(n,a+n)i(1+ac)ij(1cnj)ni(1+ac+ij)ni=(n,a+n)i(1+ac)nj(1c)ij(1c)nj=(1)n+i(n,a+n)i(1+ac)nj(c)n+j(c)i+j
だから,
(1y)acF4[n,a+nc,1+ac;xy,(1x)(1y)]=(1)n0i,j,k1(c)kk!1(ik)!xi(1)j(jk)!yj(n,a+n)i(1+ac)nj(c)n+j(c)i+j=(1)n0i,jxi(y)j(n,a+n)i(1+ac)nj(c)n+j(c)i+j0k1(c)kk!(ik)!(jk)!
ここで, 再びVandermondeの恒等式より,
0k1(c)kk!(ik)!(jk)!=1i!j!2F1[i,jc;1]=1i!j!(c)i+j(c)i(c)j
(1y)acF4[n,a+nc,1+ac;xy,(1x)(1y)]=(1)n0i,jxi(y)j(n,a+n)i(1+ac)nj1i!j!(c)n+j(c)i(c)j=(1)n(c)n(1+ac)n2F1[n,a+nc;x]2F1[n+c,cnac;y]
最後に, Eulerの変換公式より
2F1[n+c,cnac;y]=(1y)ac2F1[n,a+nc;y]
であるから定理を得る.

このWatsonの公式は, Baileyによる公式
F4[a,bc,1+a+bc;x(1y),y(1x)]=2F1[a,bc;x]2F1[a,b1+a+bc;y]
2F1の変換公式からも得られるので, その特別な場合とも言える.

応用として, 以下の公式も示される.

Gasper(1973)

nを非負整数とするとき,
0k(n,a+n)k(d,f)kj=0k(b,e)jj!(c)j(db,fe)kj(kj)!(1+ac)kj=(1)n(c)n(1+ac)n3F2[n,n+a,bc,d;1]3F2[n,n+a,ec,f;1]
が成り立つ.

定理1の両辺にxb1(1x)db1ye1(1y)fe1を掛けて[0,1]2で積分すればよい.

参考文献

[1]
G. N. Watson, The Product of Two Hypergeometric Functions, Proc, London Math. Soc. (2), 1921, 189-195
投稿日:31日前
更新日:31日前
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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