Appellの超幾何級数F4はF4[a,bc,d;x,y]:=∑0≤n,m(a,b)n+mn!m!(c)n(d)mxnymによって定義される.
nを非負整数とするとき,2F1[−n,a+nc;x]2F1[−n,a+nc;y]=(−1)n(1+a−c)n(c)nF4[−n,a+nc,1+a−c;xy,(1−x)(1−y)]が成り立つ.
(1−y)a−cF4[−n,a+nc,1+a−c;xy,(1−x)(1−y)]=∑0≤k,l(−n,a+n)k+l(c)k(1+a−c)lk!l!xkyk(1−x)l(1−y)l+a−c=∑0≤k,l(−n,a+n)k+l(c)kk!∑i=0l(−1)ii!(l−i)!xk+i∑0≤j(−1)jj!(1+a−c)l−jyk+j=∑0≤i,j,k,l(−n,a+n)k+l(c)kk!(−1)i(i−k)!(l+k−i)!xi(−1)j(j−k)!(1+a−c)l+k−jyj=∑0≤i,j,k1(c)kk!(−1)i(i−k)!xi(−1)j(j−k)!yj∑0≤l(−n,a+n)k+l(l+k−i)!(1+a−c)l+k−jここで, Vandermondeの恒等式より,∑0≤l(−n,a+n)k+l(l+k−i)!(1+a−c)l+k−j=∑0≤l(−n,a+n)i+ll!(1+a−c)l+i−j=(−n,a+n)i(1+a−c)i−j2F1[i−n,a+n+i1+a−c+i−j;1]=(−n,a+n)i(1+a−c)i−j(1−c−n−j)n−i(1+a−c+i−j)n−i=(−n,a+n)i(1+a−c)n−j(1−c)−i−j(1−c)−n−j=(−1)n+i(−n,a+n)i(1+a−c)n−j(c)n+j(c)i+jだから,(1−y)a−cF4[−n,a+nc,1+a−c;xy,(1−x)(1−y)]=(−1)n∑0≤i,j,k1(c)kk!1(i−k)!xi(−1)j(j−k)!yj(−n,a+n)i(1+a−c)n−j(c)n+j(c)i+j=(−1)n∑0≤i,jxi(−y)j(−n,a+n)i(1+a−c)n−j(c)n+j(c)i+j∑0≤k1(c)kk!(i−k)!(j−k)!ここで, 再びVandermondeの恒等式より,∑0≤k1(c)kk!(i−k)!(j−k)!=1i!j!2F1[−i,−jc;1]=1i!j!(c)i+j(c)i(c)j(1−y)a−cF4[−n,a+nc,1+a−c;xy,(1−x)(1−y)]=(−1)n∑0≤i,jxi(−y)j(−n,a+n)i(1+a−c)n−j1i!j!(c)n+j(c)i(c)j=(−1)n(c)n(1+a−c)n2F1[−n,a+nc;x]2F1[n+c,c−n−ac;y]最後に, Eulerの変換公式より2F1[n+c,c−n−ac;y]=(1−y)a−c2F1[−n,a+nc;y]であるから定理を得る.
このWatsonの公式は, Baileyによる公式F4[a,bc,1+a+b−c;x(1−y),y(1−x)]=2F1[a,bc;x]2F1[a,b1+a+b−c;y]と2F1の変換公式からも得られるので, その特別な場合とも言える.
応用として, 以下の公式も示される.
nを非負整数とするとき,∑0≤k(−n,a+n)k(d,f)k∑j=0k(b,e)jj!(c)j(d−b,f−e)k−j(k−j)!(1+a−c)k−j=(−1)n(c)n(1+a−c)n3F2[−n,n+a,bc,d;1]3F2[−n,n+a,ec,f;1]が成り立つ.
定理1の両辺にxb−1(1−x)d−b−1ye−1(1−y)f−e−1を掛けて[0,1]2で積分すればよい.
バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。