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積分ボット由来の問題らしいがこんな解き方になってしもうた

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$$\int^{1}_{0}\frac{x}{(1-s^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\log \frac{1-x}{1+x} dx = \frac{\pi}{2s\sqrt{1-s^2}} \log \frac{1-s}{1+s}$$

解けねぇ解けねぇってみんなでうなってた。わりかしまじめにわけわかめ。ゴリ押して出た解答がこちら

$$ \begin{align} &\quad\int^{1}_{0}\frac{x}{(1-s^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\log \frac{1-x}{1+x} dx \\ &=\frac{1}{2}\int^{1}_{0}\frac{1}{(1-s^2 x)\sqrt{1-x}}\log \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} dx \qquad ルート置換 \\ &=\frac{1}{2}\int^{1}_{0}\sum^{\infty}_{n=0} s^{2n} x^n \frac{1}{\sqrt{1-x}}\log \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} dx \qquad 等比数列の和 \\ &=\frac{1}{2} \sum^{\infty}_{n=0} s^{2n} \int^{1}_{0} \frac{x^n}{\sqrt{1-x}}\log \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} dx \qquad べき級数様様の交換 \\ &=\frac{1}{2} \sum^{\infty}_{n=0} s^{2n} \int^{1}_{0} \frac{(1-x)^n}{\sqrt{x}}\log \frac{1-\sqrt{1-x}}{1+\sqrt{1-x}} dx \qquad \mathrm{King \ Property} 便利~ \\ &=\frac{1}{2} \sum^{\infty}_{n=0} s^{2n} \int^{1}_{0} \frac{1}{\sqrt{x}}\log \frac{1-\sqrt{1-x}}{1+\sqrt{1-x}} \sum^{n}_{k=0} \binom{n}{k} (-x)^k dx \qquad 正義の二項定理 \\ &=\frac{1}{2} \sum^{\infty}_{n=0} s^{2n} \sum^{n}_{k=0} (-1)^k \binom{n}{k} \int^{1}_{0} x^{k-\frac{1}{2}} \log \frac{1-\sqrt{1-x}}{1+\sqrt{1-x}} dx \qquad 有限和は雑に交換できるぅ \\ &=-\frac{1}{2} \sum^{\infty}_{n=0} s^{2n} \sum^{n}_{k=0} \frac{(-1)^k}{k+\frac{1}{2}} \binom{n}{k} \int^{1}_{0} x^{k+\frac{1}{2}} \frac{1}{x\sqrt{1-x}} dx \qquad 部分積分やでぇ \\ &=-\frac{1}{2} \sum^{\infty}_{n=0} s^{2n} \sum^{n}_{k=0} \frac{(-1)^k}{k+\frac{1}{2}} \binom{n}{k} B\left(k+\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \qquad ベータ関数 \\ &=-\frac{1}{2} \sum^{\infty}_{n=0} s^{2n} \sum^{n}_{k=0} \frac{(-1)^k}{k+\frac{1}{2}} \binom{n}{k} \frac{\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(k+1\right)} \qquad ガンマに書き換え~の \\ &=-\frac{1}{2} \sum^{\infty}_{n=0} s^{2n} \sum^{n}_{k=0} \frac{(-1)^k}{k+\frac{1}{2}} \binom{n}{k} \frac{\sqrt{\pi}\frac{(2k-1)!!}{2^k} \cdot \sqrt{\pi}}{k!} \qquad 特殊値適応しーの \\ &=-\frac{\pi}{2} \sum^{\infty}_{n=0} s^{2n} \sum^{n}_{k=0} \frac{(-1)^k}{k+\frac{1}{2}} \binom{n}{k} \frac{(2k-1)!!}{2^{k} k!} \qquad ととのえーの \\ &=-\frac{\pi}{2} \sum^{\infty}_{n=0} s^{2n} \sum^{n}_{k=0} \frac{(-1)^k}{k+\frac{1}{2}} \binom{n}{k} \binom{2k}{k} 4^{-k} \qquad 中央二項係数だぁ \\ &=-\frac{\pi}{2} \sum^{\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k}{k+\frac{1}{2}} \binom{2k}{k} 4^{-k} \sum^{\infty}_{n=k} s^{2n} \binom{n}{k} \qquad 少々怪しい変形挟んで(数学科の目の前ではできませんね) \\ &=-\frac{\pi}{2(1-s^2)} \sum^{\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k}{k+\frac{1}{2}} \binom{2k}{k} 4^{-k} \left( \frac{s^2}{1-s^2} \right)^k \qquad ちょっと特殊なタイプの二項係数の母関数 \\ &=-\frac{\pi}{2(1-s^2)} \frac{2\sqrt{1-s^2}}{|s|} \sinh^{-1}\frac{|s|}{\sqrt{1-s^2}} \qquad ※後でここ解説しますね \\ &=-\frac{\pi}{|s|\sqrt{1-s^2}} \sinh^{-1} \frac{|s|}{\sqrt{1-s^2}} \\ &=\frac{\pi}{2s\sqrt{1-s^2}} \log \frac{1-s}{1+s} \qquad ここまでする必要はないかもしれない \end{align} $$

とりあえず結論だせたぁ...
※のところは

$$ \begin{align} &\quad\sum^{\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k}{k+\frac{1}{2}} \binom{2k}{k} 4^{-k} t^{k} \\ &=\frac{1}{\sqrt{t}}\sum^{\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k}{k+\frac{1}{2}} \binom{2k}{k} 4^{-k} t^{k+\frac{1}{2}} \\ &=\frac{1}{\sqrt{t}} \int^{t}_{0} \sum^{\infty}_{k=0} (-1)^k \binom{2k}{k} 4^{-k} u^{k-\frac{1}{2}} du \\ &=\frac{1}{\sqrt{t}} \int^{t}_{0} \frac{1}{\sqrt{u}}\sum^{\infty}_{k=0} \binom{2k}{k} \left(-\frac{u}{4}\right)^{k} du \\ &=\frac{1}{\sqrt{t}} \int^{t}_{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{1}{\sqrt{1-4\cdot \frac{-u}{4}}} du \qquad 中央二項係数の母関数 \\ &=\frac{2}{\sqrt{t}} \sinh^{-1} \sqrt{t} \\ &\therefore \sum^{\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k}{k+\frac{1}{2}} \binom{2k}{k} 4^{-k} \left( \frac{s^2}{1-s^2} \right)^k = \frac{2}{\sqrt{\frac{s^2}{1-s^2}}} \sinh^{-1}\sqrt{\frac{s^2}{1-s^2}} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \, = \frac{2\sqrt{1-s^2}}{|s|} \sinh^{-1}\frac{|s|}{\sqrt{1-s^2}} \end{align} $$

もっと美しい解法があれば募集!

ではまた。

投稿日:2023517

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