f’(x)=+0or-0?
\begin{align}\displaystyle
f’(x) &= \log\Big(\frac{x}{x+1}\Big)+\frac{1}{x+1} \\
&= \log\Big(1-\frac{1}{x+1}\Big)+\frac{1}{x+1}
\end{align}
$\displaystyle\frac{1}{x+1}=t$とおけば
$f’(x)=\log(1-t)+t\quad\big(=g(t)\text{とおく}\big)$
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x+1}=+0$より$x\to\infty$で$t\to +0$
$\displaystyle \lim_{x\to\infty} f’(x) = \lim_{t\to +0} g(t)$ であり
$-1 \lt x \lt 1$なる$x$に対して
\begin{align}\displaystyle \log(1+x) &= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\cdots\\
&=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}
\end{align}
この公式を用いれば
\begin{align}\displaystyle
\lim_{x\to\infty} f’(x) &= \lim_{t\to +0} g(t) \\
&=\lim_{t\to +0} -t-\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}-\cdots +t \\
&=\lim_{t\to +0} -\Big(\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+\cdots\Big) \\
&=-0
\end{align}
よって$\displaystyle \lim_{x\to\infty} f’(x)=-0$
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