三極座標について
三角形$ABC$を基準三角形にとり，
$BC=a,CA=b,AB=c,
S_A=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2},S_B=\frac{a^2-b^2+c^2}{2},S_C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2}$とする．
基準三角形$ABC$に対し,点$P$の三極座標を$(AP,BP,CP)$で定める．
$AP,BP,CP$の長さの比を三極座標とすることもあるが，
この記事では長さそのものを用いる．
$AP,BP,CP$の間には関係式がある.(六斜術)
これはオイラーの四面体公式が退化したものとみなせる．
複雑なのでこの記事では扱わない．
絶対重心座標$(x,y,z)$を持つ点$P$の三極座標を$(p,q,r)$とすると，
$p^2=c^2y^2+b^2z^2+2S_Ayz$等が成立．
対称性からpに付いて示せば十分．
変位ベクトル$\overrightarrow{AP}=(-y-z,y,z)$に距離公式を用いれば，
$p^2=-a^2yz+b^2(yz+z^2)+c^2(y^2+yz)=c^2y^2+b^2z^2+2S_Ayz$が成立するため示された
三極座標$(p,q,r)$を持つ点$P$について，
$x=a^2S_A-a^2p^2+S_Cq^2+S_Br^2$等で$x,y,z$を定めれば，
Pの重心座標は$(x:y:z)$となる．
対称性から，$8[\triangle{ABC}][\triangle{PBC}]=a^2S_A-a^2p^2+S_Cq^2+S_Br^2$を示せば十分．(面積は符号付きとする)
平面上の点から実数への関数を$f(X)=-a^2AX^2+S_CBX^2+S_BCX^2+a^2S_A-8[\triangle{ABC}][\triangle{XBC}]$で定義する．$f(P)=0$を示せばよい．
$-a^2+S_C+S_B=0$であるから$f$はアフィン関数.
ヘロンの公式から，$f(A),f(B),f(C)=0$となるため，$f$は恒等的に$0$である．
オイラー線の三極座標による方程式は
$(b^2-c^2)p^2+(c^2-a^2)q^2+(a^2-b^2)r^2=0$で与えられる．
係数の和が$0$であるから，$(b^2-c^2)p^2+(c^2-a^2)q^2+(a^2-b^2)r^2$は$P$についてのアフィン関数．
よって与方程式は直線を表す．重心,外心で成立することが確認できるため，これはオイラー線．
参考: 三極座標 wikipedia
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