Gould-Hsuの反転公式

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以下は, Gould-Hsuによって1973年に示された公式である.

Gould-Hsuの反転公式

数列 $a_{n}, b_{n}$ を
$\begin{array}{r} ψ (x, n) = \prod_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{i} x) \neq 0 \end{array}$
を全ての整数 $x, n$ に対して満たし, $ψ (x, 0) = 1$ となるようなものとする. このとき, $f, g$ が
$\begin{array}{r} f (n) = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) ψ (k, n) g (k) \end{array}$
を満たすことと
$\begin{array}{r} g (n) = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) \frac{a_{k + 1} + k b_{k + 1}}{ψ (n, k + 1)} f (k) \end{array}$
を満たすことは同値である.

一般に, $f, g$ が
$\begin{aligned} f (n) & = \sum_{k = 0}^{n} a_{n, k} g (k) \\ g (n) & = \sum_{k = 0}^{n} b_{n, k} f (k) \end{aligned}$
の関係にあるとき, 上の式に下の式を代入すると
$\begin{aligned} f (n) & = \sum_{k = 0}^{n} a_{n, k} \sum_{j = 0}^{k} b_{k, j} f (j) \end{aligned}$
が成り立つ. 全ての $f$ についてこれがなりたつことから, Kroneckerのデルタを $δ$ として
$\begin{array}{r} \sum_{k = 0}^{n} a_{n, k} b_{k, j} = δ_{n, j} \end{array}$
が成り立つ. これは $A = (a_{i, j}), B = (b_{i, j})$ は互いに逆行列の関係にあることを意味する. つまり, 上の式に下の式を代入したものと, 下の式を上の式に代入したものは同値である.

上の式に下の式を代入した等式
$\begin{array}{r} f (n) = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) ψ (k, n) \sum_{j = 0}^{k} (- 1)^{j} (\binom{k}{j}) \frac{a_{j + 1} + j b_{j + 1}}{ψ (k, j + 1)} f (j) \end{array}$
から,
$\begin{array}{r} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k + j} (\binom{n}{k}) (\binom{k}{j}) \frac{ψ (k, n)}{ψ (k, j + 1)} = \frac{δ_{n, j}}{a_{j + 1} + j b_{j + 1}} \end{array}$
を示せばよい. 左辺は
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k + j} (\binom{n}{k}) (\binom{k}{j}) \frac{ψ (k, n)}{ψ (k, j + 1)} & = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k + j} \frac{n!}{(n - k)! j! (k - j)!} \frac{ψ (k, n)}{ψ (k, j + 1)} \\ = (\binom{n}{j}) \sum_{k = 0}^{n - j} (- 1)^{k} (\binom{n - j}{k}) \frac{ψ (j + k, n)}{ψ (j + k, j + 1)} \end{aligned}$
であるから, 示すべきことは
$\begin{array}{r} \sum_{k = 0}^{n - j} (- 1)^{k} (\binom{n - j}{k}) \frac{ψ (j + k, n)}{ψ (j + k, j + 1)} = \frac{δ_{n, j}}{a_{j + 1} + j b_{j + 1}} \end{array}$
となる. $n = j$ のとき, 両辺が $\frac{1}{a_{n + 1} + (n + 1) b_{n + 1}}$ となって成り立つ. $j < n$ のとき,
$\begin{array}{r} \frac{ψ (j + k, n)}{ψ (j + k, j + 1)} = \prod_{i = j + 2}^{n} (a_{i} + (k + j) b_{i}) \end{array}$
は $k$ に関する $n - j - 1$ 次の多項式である. 一方, $n - j - 1$ 以下の任意の多項式 $p$ に関して,
$\begin{array}{r} \sum_{k = 0}^{n - j} (- 1)^{k} (\binom{n - j}{k}) p (k) = 0 \end{array}$
となることから,
$\begin{array}{r} \sum_{k = 0}^{n - j} (- 1)^{k} (\binom{n - j}{k}) \frac{ψ (j + k, n)}{ψ (j + k, j + 1)} = 0 \end{array}$
である. よって定理が示された.

系として,
$\begin{aligned} f (n) & = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (\binom{a + b k}{n}) g (k) \\ (\binom{a + b n}{n}) g (n) & = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \frac{a + b k - k}{a + b n - k} (\binom{a + b n - k}{n - k}) f (k) \end{aligned}$
のような反転公式を得ることができる.

投稿日：1月29日

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Wataru

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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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