Gould-Hsuの反転公式
以下は, Gould-Hsuによって1973年に示された公式である.
数列$a_n,b_n$を
\begin{align}
\psi(x,n)=\prod_{i=1}^n(a_i+b_ix)\neq 0
\end{align}
を全ての整数$x,n$に対して満たし, $\psi(x,0)=1$となるようなものとする. このとき, $f,g$が
\begin{align}
f(n)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\psi(k, n)g(k)
\end{align}
を満たすことと
\begin{align}
g(n)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\frac{a_{k+1}+kb_{k+1}}{\psi(n,k+1)}f(k)
\end{align}
を満たすことは同値である.
一般に, $f,g$が
\begin{align}
f(n)&=\sum_{k=0}^na_{n,k}g(k)\\
g(n)&=\sum_{k=0}^nb_{n,k}f(k)
\end{align}
の関係にあるとき, 上の式に下の式を代入すると
\begin{align}
f(n)&=\sum_{k=0}^na_{n,k}\sum_{j=0}^kb_{k,j}f(j)
\end{align}
が成り立つ. 全ての$f$についてこれがなりたつことから, Kroneckerのデルタを$\delta$として
\begin{align}
\sum_{k=0}^na_{n,k}b_{k,j}=\delta_{n,j}
\end{align}
が成り立つ. これは$A=(a_{i,j}), B=(b_{i,j})$は互いに逆行列の関係にあることを意味する. つまり, 上の式に下の式を代入したものと, 下の式を上の式に代入したものは同値である.
上の式に下の式を代入した等式
\begin{align}
f(n)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\psi(k, n)\sum_{j=0}^k(-1)^j\binom kj\frac{a_{j+1}+jb_{j+1}}{\psi(k,j+1)}f(j)
\end{align}
から,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n(-1)^{k+j}\binom nk\binom kj\frac{\psi(k,n)}{\psi(k,j+1)}=\frac {\delta_{n,j}}{a_{j+1}+jb_{j+1}}
\end{align}
を示せばよい. 左辺は
\begin{align}
\sum_{k=0}^n(-1)^{k+j}\binom nk\binom kj\frac{\psi(k,n)}{\psi(k,j+1)}&=\sum_{k=0}^n(-1)^{k+j}\frac{n!}{(n-k)!j!(k-j)!}\frac{\psi(k,n)}{\psi(k,j+1)}\\
&=\binom nj\sum_{k=0}^{n-j}(-1)^k\binom{n-j}k\frac{\psi(j+k,n)}{\psi(j+k,j+1)}
\end{align}
であるから, 示すべきことは
\begin{align}
\sum_{k=0}^{n-j}(-1)^k\binom{n-j}k\frac{\psi(j+k,n)}{\psi(j+k,j+1)}=\frac {\delta_{n,j}}{a_{j+1}+jb_{j+1}}
\end{align}
となる. $n=j$のとき, 両辺が$\frac 1{a_{n+1}+(n+1)b_{n+1}}$となって成り立つ. $j< n$のとき,
\begin{align}
\frac{\psi(j+k,n)}{\psi(j+k,j+1)}=\prod_{i=j+2}^n(a_i+(k+j)b_i)
\end{align}
は$k$に関する$n-j-1$次の多項式である. 一方, $n-j-1$以下の任意の多項式$p$に関して,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{n-j}(-1)^k\binom{n-j}kp(k)=0
\end{align}
となることから,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{n-j}(-1)^k\binom{n-j}k\frac{\psi(j+k,n)}{\psi(j+k,j+1)}=0
\end{align}
である. よって定理が示された.
系として,
\begin{align}
f(n)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\binom{a+bk}ng(k)\\
\binom{a+bn}ng(n)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{a+bk-k}{a+bn-k}\binom{a+bn-k}{n-k}f(k)
\end{align}
のような反転公式を得ることができる.
