面積の大小関係から不等式の証明/名古屋大82年理系第１問

［解答］
$$a^n-b^n \leqq \frac{n}{2}(a-b)(a^{n-1}+b^{n-1})． \cdots(♪)$$
を証明する．
　$n=1,2$のときと$a=b$のときは，trivial.
　したがって，$a > b >0$かつ$n\geqq 3$ で考える．
　関数$y=x^{n-1}$について，$x>0$の範囲では，
$y''=(n-1)(n-2)x^{n-3}>0$なので，曲線$y=x^{n-1}$は下に凸の曲線となる．
　♪は次と同値である．
$$ \frac{a^n-b^n}{n} \leqq \frac{(a-b)(a^{n-1}+b^{n-1}) }{2}$$
ここで，A$(a,f(a))$,B$(b,f(b))$とする．
右辺は，４直線$x=a$,$x=b$,$x$軸,ABで囲まれる台形の面積を表す．
曲線$y=x^{n-1}$は，区間$[b,a]$で直線ABより下方にあり$x$軸より上方にある．
左辺は，この曲線と３直線$x=a$,$x=b$,$x$軸で囲まれる部分の面積を表すので，台形の方が面積が大きい．
したがって，この面積の大小関係から，不等式は成り立つ．（ただし，等号は成立しない）
以上から，不等式（♪）は証明された．□□