積分の計算問題

問題

$a,b$を実数とする。関数$f(t)=(t-a)(t-b)$について、以下の問題に答えよ。

(1)$n$を$1$以上の整数とする。$ \int_{a}^{b} (f(t))^{n} dt$を求めよ。

(2)$\int_{a}^{b} t \cdot (f(t))^{n} dt = \frac{a+b}{2}\int_{a}^{b} (f(t))^{n} dt $を示せ。

(3)$k$を$0$以上の整数とする。$I_{n,k}=\int_{a}^{b} (f(t))^{n} (f'(t))^{k}dt$について、
　$I_{n,k}=-\frac{2(k-1)}{n+1} I_{n+1,k-2}$が成り立つことを示せ。また、$I_{n,k}$を求めよ。
(4)$a+b=0$のとき、$ \int_{a}^{b} (t \cdot f(t))^{2n} dt=\frac{2^{4n+1} \cdot _{2n}C_{n}}{(6n+1)_{6n}C_{2n} \cdot _{4n}C_{n}}b^{6n+1}$を示せ。

(1)$\frac{(-1)^n \cdot (n!)^2}{(2n+1)!}(b-a)^{2n+1}$

(2)$f'(t)=2t-(a+b) \Leftrightarrow t=\frac{f'(t)}{2}+\frac{a+b}{2}$

$\int_{a}^{b} (f(t))^{n} \cdot f'(t)dt=\frac{1}{n+1}[(f(t))^{n+1}]_a^b=0$

より、
$\int_{a}^{b} t \cdot (f(t))^{n} dt$
$=\int_{a}^{b} (\frac{f'(t)}{2}+\frac{a+b}{2}) \cdot (f(t))^{n} dt$
$=\frac{a+b}{2}\int_{a}^{b} (f(t))^{n} dt $

(3)$k$が奇数の場合、$ I_{n,k}=0$
$k$が偶数の場合、$ I_{n,k}=\frac{(-1)^n \cdot k! \cdot n! \cdot (n+\frac{k}{2})!}{(\frac{k}{2})! \cdot (2n+k+1)!}(b-a)^{2n+k+1}$

(4)$ \int_{a}^{b} (t \cdot f(t))^{2n} dt=\frac{1}{2^{2n}} \int_{a}^{b} (f(t))^{2n} (f'(t))^{2n}dt=\frac{1}{2^{2n}}I_{2n,2n}$
また$I_{2n,2n}=\frac{((2n)!)^{2}\cdot (3n)!}{n! \cdot (6n+1)!}(2b)^{6n+1}$であるから、

$ \int_{a}^{b} (t \cdot f(t))^{2n} dt$
$=\frac{2^{4n+1} \cdot \frac{(2n)!}{n! \cdot n!}}{(6n+1) \cdot \frac{(6n)!}{(4n)! \cdot (2n)!}\cdot \frac{(4n)!}{(3n)! \cdot n!}}b^{6n+1}$
$=\frac{2^{4n+1} \cdot _{2n}C_{n}}{(6n+1)_{6n}C_{2n} \cdot _{4n}C_{n}}b^{6n+1}$