この記事ではリーマンゼータ関数
いま
とおくと、リーマン予想は
が成り立つことと言い換えられます。
また
という漸近挙動を持つことが知られているのでリーマン予想が真であるためには
という必要条件が考えられます。
しかしまだこの命題の真偽さえも不明であり
2020年の時点
では
という評価が最良の結果のようです。
以下では
ちなみにこの結果が掲載されたHardy(1914)は僅か3ページの論文でしたが、これに次ぐHardy-Littlewood(1921)の結果
でさえ実に35ページと長編となっているので、これ以上の結果については特に記事を書く気はありません。
とおくと
が成り立つ。
最初の等号についてはよく知られた等式
において
に注意して
また二つ目の等号については
が成り立つこと、および
に注意するとわかる。
とおくと
が成り立つ。
上の補題の逆メリン変換を考えることで任意の
がわかるので、これに
を得る。
また関数等式
が成り立ち、
が成り立つことに注意すると主張を得る。
において極限
が成り立つ。
より
が成り立つ。
したがってこの
ゼータ関数の非自明な零点はクリティカルライン
また
のように評価でき、したがって十分大きい
特に
が成り立たなければならないが
および補題4に注意すると
が成り立つので矛盾。よって主張を得る。