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現代数学解説
文献あり

クリティカルライン上の零点について

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{c}[0]{\cdot} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{F}[4]{{}_2F_1\left(\begin{matrix}#1,#2\\#3\end{matrix};#4\right)} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{FF}[6]{{}_3F_2\left(\begin{matrix}#1,#2,#3\\#4,#5\end{matrix};#6\right)} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\operatorname{Gal}} \newcommand{H}[0]{\mathbb{H}} \newcommand{id}[0]{\operatorname{id}} \newcommand{Im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{L}[0]{\Lambda} \newcommand{la}[0]{\lambda} \newcommand{La}[0]{\Lambda} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{li}[0]{\operatorname{li}} \newcommand{M}[4]{\begin{pmatrix}#1& #2\\#3& #4\end{pmatrix}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{o}[0]{\omega} \newcommand{O}[0]{\Omega} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{P}[0]{\mathfrak{P}} \newcommand{p}[0]{\mathfrak{p}} \newcommand{q}[0]{\mathfrak{q}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\operatorname{Re}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{vp}[0]{\varphi} \newcommand{vt}[0]{\vartheta} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

 この記事ではリーマンゼータ関数$\z(s)$$\Re(s)=\frac12$上の零点の分布について簡単にまとめていきます。

リーマン予想の必要条件

 いま$\rho$はゼータ関数の非自明な零点を表すものとし
$$N(T)=\sum_{0<\Im\rho\leq T}1,\quad N_0(T)=\sum_{\substack{0<\Im\rho\leq T\\\Re\rho=\frac12}}1$$
とおくと、リーマン予想は
$$N(T)=N_0(T)$$
が成り立つことと言い換えられます。
 また$N(T)$
$$N(T)=\frac T{2\pi}\log\frac T{2\pi}-\frac T{2\pi}+O(\log T)$$
という漸近挙動を持つことが知られているのでリーマン予想が真であるためには
$$\liminf_{T\to\infty}\frac{N_0(T)}{N(T)}=\liminf_{T\to\infty}\frac{N_0(T)}{\frac T{2\pi}\log T}=1$$
という必要条件が考えられます。
 しかしまだこの命題の真偽さえも不明であり 2020年の時点 では
$$\liminf_{T\to\infty}\frac{N_0(T)}{N(T)}\geq0.417293962\quad\l(>\frac5{12}\r)$$
という評価が最良の結果のようです。

零点の無限性

 以下では$N_0(T)$の漸近挙動に関する最初の結果であるHardyの定理の証明について解説していきます。

Hardyの定理

$$\lim_{T\to\infty}N_0(T)=\infty$$

 ちなみにこの結果が掲載されたHardy(1914)は僅か3ページの論文でしたが、これに次ぐHardy-Littlewood(1921)の結果
$$\liminf_{T\to\infty}\frac{N_0(T)}T>0$$
でさえ実に35ページと長編となっているので、これ以上の結果については特に記事を書く気はありません。

補題

$$G(x)=\sum^\infty_{n=-\infty}e^{-\pi n^2x^2}$$
とおくと
\begin{align} \pi^{-\frac s2}\G\l(\frac s2\r)\z(s) &=\int^\infty_1(x^{-s}+x^{-(1-s)})(G(x)-1)dx-\frac1s-\frac1{1-s}\\ &=\l\{\begin{array}{ll} \dis\int^\infty_0x^{-s}\l(G(x)-\frac1x\r)dx&(1<\Re(s))\\ \dis\int^\infty_0x^{-s}\l(G(x)-1-\frac1x\r)dx\quad&(0<\Re(s)<1)\\ \dis\int^\infty_0x^{-s}\l(G(x)-1\r)dx&\phantom{1<{}}(\Re(s)<0)\\ \end{array}\r. \end{align}
が成り立つ。

 最初の等号についてはよく知られた等式
$$\pi^{-\frac s2}\G\l(\frac s2\r)\z(s) =\int^\infty_1(t^{\frac s2-1}+t^{\frac{1-s}2-1})\psi(t)dt-\frac1{s(1-s)}$$
において
$$\psi(t)=\sum^\infty_{n=1}e^{-\pi n^2t}=\frac{G(\sqrt t)-1}2$$
に注意して$t=x^2$とおくことでわかる。
 また二つ目の等号については$G(1/x)=xG(x)$より
\begin{align} \int^\infty_1x^{s-1}(G(x)-1)dx &=\int^1_0x^{-s-1}(G\l(\frac1x\r)-1)dx\\ &=\int^1_0x^{-s}\l(G(x)-\frac1x\r)dx \end{align}
が成り立つこと、および
$$\frac1s+\frac1{1-s}=\l\{\begin{array}{ll} \dis\int^\infty_1x^{-s-1}dx-\int^\infty_1x^{-s}dx&(1<\Re(s))\\ \dis\int^\infty_1x^{-s-1}dx+\int^1_0x^{-s}dx&(0<\Re(s)<1)\\ \dis-\int^1_0x^{-s-1}dx+\int^1_0x^{-s}dx&\phantom{1<{}}(\Re(s)<0)\\ \end{array}\r.$$
に注意するとわかる。

\begin{align} \xi(s)&=\frac{s(s-1)}2\pi^{-\frac s2}\G\l(\frac s2\r)\z(s)\\ \Xi(t)&=\xi\Big(\frac12+it\Big)\\ H(x)&=x\frac{d^2}{dx^2}(xG(x)) \end{align}
とおくと
$$x^\frac12H(x)=\sum^\infty_{n=0}c_{2n}(i\log x)^{2n}\qquad \l(c_n=\frac2{\pi n!}\int^\infty_0\Xi(t)t^ndt\r)$$
が成り立つ。

 上の補題の逆メリン変換を考えることで任意の$0<\s<1$に対し
$$G(x)-1-\frac1x=\frac1{2\pi i}\int^{\s+i\infty}_{\s-i\infty}\frac{2\xi(s)}{s(s-1)}x^{s-1}ds$$
がわかるので、これに$x$を掛けて二階微分することで
\begin{align} H(x) &=\frac1{\pi i}\int^{\frac12+i\infty}_{\frac12-i\infty}\xi(s)x^{s-1}ds\\ &=\frac1\pi\int^\infty_{-\infty}\Xi(t)x^{-\frac12+it}dt\\ x^\frac12H(x) &=\frac1\pi\int^\infty_{-\infty}\Xi(t)\l(\sum^\infty_{n=0}\frac{(it\log x)^n}{n!}\r)dt\\ &=\sum^\infty_{n=0}\l(\frac1{\pi n!}\int^\infty_{-\infty}\Xi(t)t^ndt\r)(i\log x)^n \end{align}
を得る。
 また関数等式$\Xi(t)=\Xi(-t)$から$n$が奇数のとき
$$\frac1{\pi n!}\int^\infty_{-\infty}\Xi(t)t^ndt=0$$
が成り立ち、$n$が偶数のとき
$$\frac1{\pi n!}\int^\infty_{-\infty}\Xi(t)t^ndt=\frac2{\pi n!}\int^\infty_0\Xi(t)t^ndt$$
が成り立つことに注意すると主張を得る。

$$x\in D:=\{z\in\C\mid|\arg z|<\pi/4\}$$
において極限$x\to e^{\frac{\pi i}4}$を考えると、任意の$n$に対して
$$\lim_{x\to e^{\frac{\pi i}4}}\frac{d^n}{dx^n}G(x) =\lim_{x\to e^{\frac{\pi i}4}}\frac{d^n}{dx^n}H(x)=0$$
が成り立つ。

\begin{align} G(x)+G(\sqrt{x^2+i}) &=\sum^\infty_{n=-\infty}e^{-\pi n^2x^2}+\sum^\infty_{n=-\infty}(-1)^ne^{-\pi n^2x^2}\\ &=2\sum^\infty_{n=-\infty}e^{-\pi(2n)^2x^2}\\ &=2G(2x) \end{align}
より$G(x)=G(1/x)/x$に注意すると
\begin{align} G(\sqrt{x^2+i}) &=\frac2{2x}G\l(\frac1{2x}\r)-\frac1xG\l(\frac1x\r)\\ &=\frac1x\l(\sum^\infty_{n=-\infty}e^{-\pi n^2/4x^2}-\sum^\infty_{n=-\infty}e^{-\pi n^2/x^2}\r)\\ &=\frac1x\sum_{n:\mathrm{odd}}e^{-\pi n^2/4x^2} \end{align}
が成り立つ。
 したがってこの$x\to0$における挙動を考えることで、$G(x)$およびその導関数は$x\to e^{\frac{\pi i}4}$において$0$に収束することがわかる。

証明

 ゼータ関数の非自明な零点はクリティカルライン$\Re(s)=\frac12$上に無数に存在する。

 $\Xi(t)$は実関数であること(偶関数性に注意して$\xi(\frac12+s)$のテイラー展開を考えることでわかる)に注意すると、クリティカルライン上の零点が有限個しかなければある$T$が存在して$t>T$において$\Xi(t)$は定符号となる。
 また$t>T$において$\Xi(t)>0$が成り立つとするとある定数$K_1,K_2>0$が存在して、補題3の展開係数$c_n$
\begin{align} \frac{\pi n!}2c_n &=\int^\infty_0\Xi(t)t^ndt\\ &\geq\int^\infty_T\Xi(t)t^ndt-\int^T_0|\Xi(t)|t^ndt\\ &\geq\int^{2T+1}_{2T}\Xi(t)t^ndt-\int^T_0|\Xi(t)|t^ndt\\ &\geq K_1(2T)^n-K_2T^n \end{align}
のように評価でき、したがって十分大きい$n$に対して$c_n>0$が成り立つ($\Xi(t)<0$を仮定した場合も同様にして$c_n<0$がわかる)。
 特に$x^\frac12H(x)$$\log x$について何回か微分し$x\to e^{\frac{\pi i}4}$とすることで
\begin{align} \frac1{(2N)!}\l(\frac d{d(i\log x)}\r)^{2N}x^\frac12 H(x) &=\sum^\infty_{n=N}c_{2n}\binom{2n}{2N}(i\log x)^{2n-2N}\\ &\to\sum^\infty_{n=N}c_{2n}\binom{2n}{2N}\l(-\frac\pi4\r)^{2n-2N}\\ &=\sum^\infty_{n=N}c_{2n}\binom{2n}{2N}\l(\frac\pi4\r)^{2n-2N}\\ &>0 \end{align}
が成り立たなければならないが
$$\frac d{d(i\log x)}=\frac{dx}{d(i\log x)}\frac d{dx}=-ix\frac d{dx}$$
および補題4に注意すると
$$\l(\frac d{d(i\log x)}\r)^{2N}x^\frac12 H(x)\to0$$
が成り立つので矛盾。よって主張を得る。

参考文献

[1]
G. H. Hardy, Sur les Zéros de la fonction ζ(s) de Riemann, C. R. Acad. Sci. Paris, 1914, 1012-1014
[2]
H. M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Dover Publications, 1974, 226-229
投稿日:35
更新日:36
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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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